Esercizio su sviluppo di Laurent
In attesa della risposta nell'altra domanda mi trovo con un altro dubbio e spero possa postare due domande a tempo. questa volta su un esercizio di cui non ho, come sempre, soluzione.
Ho la funzione $f(z)=e^(1/z)/(z^3+1)$ e si richiede:
- Discutere le proprietà di analiticità al finito e all’infinito della funzione
- Scrivere lo sviluppo di Laurent nell’intorno di z=−1. Indicare il dominio di convergenza di questa serie.
Purtroppo non ho esercizi svolti ma solo testi degli esercizi e mi sto arrangiando per capire come fare, ho studiato la parte teorica ma applicare è ben altra cosa e non ci riesco da solo.
Sono riuscito a trovare i punti:
- $z=0$ singolarità essenziale
- $e^(ipi/3), e^(i pi), e^(i5/3pi)$ poli semplici
- all'infinito con la dovuta sostituzione arrivo ad avere: $f(1/s)=(s^3e^s)/(1+s^3)$ che in s=0 -z->inf è regolare.
per la domanda 2 invece non riesco a raccapezzarmi, il fatto è che mi si chiede di svilupparla in un punto in cui non posso usare sviluppi noti di Taylor per $1/(z-1)$,ho provato a separare parte singolare e regolare (che ho dedotto essere una via cruciale in questi esercizi). Ma non ci sono riuscito. Mi trovo proprio bloccato
Ho la funzione $f(z)=e^(1/z)/(z^3+1)$ e si richiede:
- Discutere le proprietà di analiticità al finito e all’infinito della funzione
- Scrivere lo sviluppo di Laurent nell’intorno di z=−1. Indicare il dominio di convergenza di questa serie.
Purtroppo non ho esercizi svolti ma solo testi degli esercizi e mi sto arrangiando per capire come fare, ho studiato la parte teorica ma applicare è ben altra cosa e non ci riesco da solo.
Sono riuscito a trovare i punti:
- $z=0$ singolarità essenziale
- $e^(ipi/3), e^(i pi), e^(i5/3pi)$ poli semplici
- all'infinito con la dovuta sostituzione arrivo ad avere: $f(1/s)=(s^3e^s)/(1+s^3)$ che in s=0 -z->inf è regolare.
per la domanda 2 invece non riesco a raccapezzarmi, il fatto è che mi si chiede di svilupparla in un punto in cui non posso usare sviluppi noti di Taylor per $1/(z-1)$,ho provato a separare parte singolare e regolare (che ho dedotto essere una via cruciale in questi esercizi). Ma non ci sono riuscito. Mi trovo proprio bloccato
Risposte
Beh, hai:
\[
f(z) = \underbrace{ \frac{e^{1/z}}{z^2 - z +1}}_{\text{=: g(z)}}\ \frac{1}{z + 1}
\]
cosicché per determinare lo sviluppo di Laurent di $f(z)$ intorno a $-1$ ti basta determinare lo sviluppo di Taylor di $g(z)$ centrato in $-1$.
Non che sia più semplice, ma almeno sai come procedere...
\[
f(z) = \underbrace{ \frac{e^{1/z}}{z^2 - z +1}}_{\text{=: g(z)}}\ \frac{1}{z + 1}
\]
cosicché per determinare lo sviluppo di Laurent di $f(z)$ intorno a $-1$ ti basta determinare lo sviluppo di Taylor di $g(z)$ centrato in $-1$.
Non che sia più semplice, ma almeno sai come procedere...
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