Esercizio Operatori lineari (3)

[fede161]

Ciao ragazzi!

Sto svolgendo questo esercizio di analisi complessa:

Nello spazio di Hilbert H si consideri l'operatore A definito dalla relazione

$ Ax=alphau+betav $ con $ alpha, beta in mathbb(C) $ e u,v vettori ortonormali in H.

a) verificare che l'operatore A è limitato e calcolarne la norma.

Il mio libro la risolve così:

Possiamo scrivere $ A=alphaP_1 + betaP_2 $ con

$ P_1 x= u $ e $ P_2 x= v $ operatori di proiezione ortogonale lungo i vettori u e v . Si ha:

$ P_1^2=P_1 $
$ P_2^2=P_2 $
$ P_1P_2=P_2P_1=0 $
$ ||P_1||=||P_2||=1 $

L'operatore A è quindi limitato, e :

$ ||A||<=|alpha|||P_1||+|beta|||P_2||=|alpha|+|beta| $

Esserndo u e v ortogonali tra loro, abbiamo che $ P_1x $ e $ P_2x $ sono ortogonali tra loro:

$ ||Ax||^2<=|alpha|^2||P_1x||^2+|beta|^2||P_2x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2}(||P_1x||^2+|P_2x||^2) = $

$ = max {|alpha|^2,|beta|^2}||(P_1+P_2)x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2} ||x||^2 $

Se scegliamo $ x=P_1x $ oppure $ x=P_2x $ si ottiene

$ ||AP_1x|| = ||alphaP_1x|| = |alpha|||P_1x||=|alpha|||x|| $
$ ||AP_2x|| = ||betaP_2x|| = |beta|||P_2x||=|beta|||x|| $

per cui $ ||A|| = max {|alpha|,|beta|} $

Allora, fino a che dimostra che è limitato è tutto ok, perchè poi dopo per verificare l'ortogonalità va a prendere in considerazione il massimo?? Sapreste spiegarmi cosa sta facendo con quelle operazioni?

grazie mille in anticipo..

[gugo82]

"fede16":Ciao ragazzi!

Sto svolgendo questo esercizio di analisi complessa:

Nello spazio di Hilbert H si consideri l'operatore A definito dalla relazione

$ Ax=alphau+betav $ con $ alpha, beta in mathbb(C) $ e u,v vettori ortonormali in H.

a) verificare che l'operatore A è limitato e calcolarne la norma.

Il mio libro la risolve così:

Possiamo scrivere $ A=alphaP_1 + betaP_2 $ con

$ P_1 x= u $ e $ P_2 x= v $ operatori di proiezione ortogonale lungo i vettori u e v . Si ha:

$ P_1^2=P_1 $
$ P_2^2=P_2 $
$ P_1P_2=P_2P_1=0 $
$ ||P_1||=||P_2||=1 $

L'operatore A è quindi limitato, e :

$ ||A||<=|alpha|||P_1||+|beta|||P_2||=|alpha|+|beta| $

Esserndo u e v ortogonali tra loro, abbiamo che $ P_1x $ e $ P_2x $ sono ortogonali tra loro:

$ ||Ax||^2<=|alpha|^2||P_1x||^2+|beta|^2||P_2x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2}(||P_1x||^2+|P_2x||^2) = $

$ = max {|alpha|^2,|beta|^2}||(P_1+P_2)x||^2<= max {|alpha|^2,|beta|^2} ||x||^2 $

Se scegliamo $ x=P_1x $ oppure $ x=P_2x $ si ottiene

$ ||AP_1x|| = ||alphaP_1x|| = |alpha|||P_1x||=|alpha|||x|| $
$ ||AP_2x|| = ||betaP_2x|| = |beta|||P_2x||=|beta|||x|| $

per cui $ ||A|| = max {|alpha|,|beta|} $

Allora, fino a che dimostra che è limitato è tutto ok, perchè poi dopo per verificare l'ortogonalità va a prendere in considerazione il massimo?? Sapreste spiegarmi cosa sta facendo con quelle operazioni?

Mi sa che non hai letto con la dovuta attenzione il testo del problema. Fallo.
Rileggiti anche la definizione di norma operatoriale e poi medita sulla soluzione proposta.
Se ancora non riesci ad orientarti, prova a spulciare sul forum: esercizi del genere sono già stati svolti altre volte.

Dopodiché, se hai ancora bisogno di una mano, torna a postare.

[fede161]

Ho fatto come mi hai detto tu!!

Rileggendo la definizione di norma operatoriale, effettivamente mi chiarisce un po' le idee.
Non mi è però ben chiaro perchè nella definizione di norma (operatoriale) metta:

\( ||A||=\sup \) $ ||Ax||/||x|| $

quando invece nell'esercizio considera il max

[gugo82]

Ma hai capito bene qual è il significato della norma operatoriale?
Insomma, la quantità \(\|A\|\) a che serve? In che disuguaglianza interviene? Etc...

[mic_1]

@gugo82 sto cercando di capire lo stesso problema...

Spulciando un po in giro ho notato che ci sono argomenti di esercizi non trattati nelle dispense del prof per cui proverò a chiederti...Ho trovato che l'operatore se è autoaggiunto ha norma operatoriale pari al max.... tale affermazione è valida anche in questo contesto?

La norma operatoriale considera il minimo valore reale positivo affinchè sia valida la relazione ||Ax|| <= C ||x|| ma con la formula risultante dell'esercizio effettivamente nemmeno io ho capito perchè usa il max. Non ci dovrebbero essere ulteriori informazioni che aiutano ad arrivare a tale conclusione? Grazie

[gugo82]

Non capisco quali considerazioni generali servano, in quanto lo svolgimento dell'esercizio mi sembra piuttosto chiaro... Ad ogni buon conto, lo risvolgo cercando di chiarire qualche punto.

Per determinare la norma dell'operatore dobbiamo ricercare la più piccola costante non negativa $C$ tale che:
\[
\| Tx\| \leq C\ \| x\|
\]
per ogni $x in H$. Per fare ciò bisogna maggiorare la norma dell'immagine $Tx$ ragionevolmente, ossia cercando di non "salire" troppo.
Poiché la \(\|Tx\|\) è la radice quadrata del prodotto scalare \(\langle Tx,Tx\rangle\), conviene lavorare con il quadrato della norma.
Ricordato che \(\|u\|=1=\|v\|\) e \(\langle u,v\rangle=0\), abbiamo:
\[
\begin{split}
\| Tx\|^2 &= \left\langle a \langle u,x\rangle u + b \langle v,x\rangle v, a \langle u,x\rangle u + b \langle v,x\rangle v \right\rangle\\
&= a^2 \langle u,x\rangle^2 \|u\|^2 +2ab \langle u,x\rangle \langle v,x\rangle \langle u,v \rangle+ b^2 \langle v,x\rangle^2 \|v\|^2\\
&= a^2 \langle u,x\rangle^2 + b^2 \langle v,x\rangle^2\; ;
\end{split}
\]
usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, troviamo:
\[
\begin{split}
\| Tx\|^2 &\leq a^2\|u\|^2\|x\|^2 + b^2\|v\|^2\|x\|^2\\
&= (a^2 +b^2)\|x\|^2
\end{split}
\]
dunque:
\[
\|Tx\|\leq \sqrt{a^2 +b^2}\ \|x\|\; .
\]
Quanto appena trovato ci dice che $T$ è limitato e che la sua norma è $<= \sqrt{a^2 +b^2}$.

Tuttavia, quella appena ottenuta è una stima abbastanza rozza di \(\|T\|_{\text{op}}\)... Ciò, fondamentalmente, è dovuto al fatto che non abbiamo usato sufficientemente le proprietà geometriche di $u$ e $v$.
Per renderci conto di questo fatto, prendiamo \(x \in \operatorname{span}\{u,v\}\), di modo che:
\[
x=\langle u,x\rangle u +\langle v,x\rangle v =P_ux+P_vx
\]
in cui $P_u,P_v$ denotano gli operatori di proiezione sulle direzioni di $u$ e $v$; per un tale $x$, ricordando le proprietà dei proiettori, si ha:
\[
\begin{split}
Tx &= aP_u(P_ux+P_vx)+bP_v(P_ux+P_vx)\\
&=aP_u x + bP_v x\; ,
\end{split}
\]
da cui, notato che che nel sottospazio generato da $u$ e da $v$ vale il Teorema di Pitagora, ricaviamo:
\[
\begin{split}
\|Tx\|^2 &= a^2\|P_u x\|^2 + b^2\|P_v x\|^2\\
&\leq \max\{ a^2, b^2\} \left( \|P_u x\|^2 + \|P_v x\|^2\right)\\
&= \max\{ a^2, b^2\}\ \|x\|^2
\end{split}
\]
quindi la norma operatoriale di $T$ è certamente $<= \sqrt{\max\{ a^2, b^2\}} = \max\{ |a|, |b|\} $, quantità che è più piccola di $sqrt(a^2+b^2)$.

Infine, per stabilire che \(\|T\|_{\text{op}}= \max\{ |a|, |b|\}\) basta far vedere che non è possibile la disuguaglianza stretta \(\|T\|_{\text{op}}< \max\{ |a|, |b|\}\); ciò, in questo che è un caso semplice, si prova esibendo esplicitamente qualche vettore $x$ tale che \(\| Tx\| = \max\{ |a|, |b|\} \|x\|\).[nota]In casi più generali, ciò non si può sempre fare e bisogna adottare altre strategie.[/nota]
Nel caso in esame, i vettori \(x^\prime :=\operatorname{sign}(a) u\) e \(x^{\prime\prime} :=\operatorname{sign}(b) v\) hanno entrambi norma unitaria e rispettivamente:
\[
Tx^\prime =|a| u\qquad\text{e}\qquad Tx^{\prime\prime} =|b| v
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\|Tx^\prime\|&=|a|\|x^\prime\|\\
\|Tx^{\prime\prime}\|&=|b|\|x^{\prime\prime}\|
\end{split}
\]
pertanto l'uguaglianza \(\| Tx\| = \max\{ |a|, |b|\} \|x\|\) è soddisfatta prendendo $x=x^\prime$ od $x=x^{\prime\prime}$ a seconda dei casi.

[mic_1]

Grazie gugo82 anche se non ho capito perché nel ragionamento del calcolo della norma quadra utilizza max. Cioè può essere anche minore o uguale del sup che a sua volta è minore o uguale del max.
Forse perché si hanno a e b come scalari? Correggimi perché credo di dire una fesseria ma può essere che quando si ha vettori in norma si consideri il sup mentre per gli scalari il max? Grazie.
Spero di non averla detta troppo grossa!

[gugo82]

Qual è il più piccolo numero più grande di due numeri assegnati?

[mic_1]

Quello che posso dirti è che il sup è l'estremo superiore ossia il più piccolo dei maggioranti che a sua volta è minore del max (massimo).

[mic_1]

Aspetta aspetta... Però se l' intervallo è chiuso e limitato il sup sarà esattamente il max. Confermi?

[gugo82]

Non mi interessa quello che "puoi dirmi"... Ma quello che è.

Dati due numeri (diciamoli $x$ ed $y$ se proprio dobbiamo dargli un nome), qual è il più piccolo numero più grande di entrambi?

E cosa c'entrano gli intervalli?
Chi ha mai parlato di intervalli?

[mic_1]

Non lo so!

[gugo82]

Ma ragiona... Se $x=0$ ed $y=37$, qual è il più piccolo numero maggiore od uguale ad entrambi?
E se $x=3$ ed $y=-2$?
E se $x=\sqrt{2}$ ed \(y=\sqrt[3]{\pi}\)?

In generale, quindi, qual è il più piccolo numero più maggiore od uguale a $x$ ed $y$?

[mic_1]

Mi verrebbe da dire che è il sup o estremo superiore che è il più piccolo dei maggioranti.

[gugo82]

Ma proprio non ti piace lavorare sui sei numeri che ti ho suggerito?
Scegline altri, se quelli ti fanno tanto ribrezzo, ma guarda dei casi particolari prima di buttarti sul generale.

[mic_1]

Perché ribrezzo? Bah. Cmq... Ho dato risposta generica perché al momento non ho avuto tempo di mettermi giù a tavolino, aprire il pc e leggere bene il testo e i valori assegnati alla x e y. Sono con lo smartphone e sempre in giro per impegni vari. Non sono il classico studente che studia soltanto.