Esercizio integrale con taglio

[gfoti]

Buongiorno a tutti chiedo aiuto per la risoluzione di un integrale che non riesco a capire.



Il passaggio che non capisco è l'ultimo ovvero come mai l'integrale sull'asse reale è la metà di quello su gamma piccolo, so che la cosa è inerente al taglio tra z1 e z2 ma non so come mostrarlo. Se qualcuno è in grado di aiutarmi lo ringrazio.

[gfoti]

Nessuno può spiegarmelo? Almeno potrei sapere un testo adatto snello per affrontare integrali di questo tipo?

[Studente Anonimo]

Intanto, il percorso d'integrazione che hai disegnato è più complicato del necessario. Tra l'altro, non si comprende il motivo per cui tu abbia orientato il percorso nel verso opposto rispetto a quello più naturale. Inoltre, prima di procedere, conviene la seguente trasformazione:

$f(z)=(sqrt((z-z_1)(z_2-z)))/z=(isqrt((z-z_1)(z-z_2)))/z$

Quindi, al netto dei passaggi al limite:

$\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz+\int_{C_(r_2)(o r a r i o)}f(z)dz-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz+\int_{C_(r_1)(o r a r i o)}f(z)dz+\int_{C_R(a n t i o r a r i o)}f(z)dz=$

$=2\pii*Res[f(z),0]$

Infine:

Calcolo del residuo

$2\pii*Res[f(z),0]=2\pii*lim_(z->0)isqrt((z-z_1)(z-z_2))=2\pisqrt(z_1z_2)$

Calcolo dei limiti per i quali il raggio tende a zero

$lim_(r_2->0)\int_{C_(r_2)(o r a r i o)}f(z)dz=0$

$lim_(r_1->0)\int_{C_(r_1)(o r a r i o)}f(z)dz=0$

Calcolo del limite per il quale il raggio diverge (mediante il residuo all'infinito)

$lim_(R->+oo)\int_{C_R(a n t i o r a r i o)}f(z)dz=2\pii*Res[1/\omega^2f(1/\omega),0]=2\pii*Res[(isqrt((1-z_1\omega)(1-z_2\omega)))/\omega^2,0]=$

$=2\pii*lim_(\omega->0)(i[-z_1(1-z_2\omega)-z_2(1-z_1\omega)])/(2sqrt((1-z_1\omega)(1-z_2\omega)))=\pi(z_1+z_2)$

Impostazione dei due integrali sull'asse reale

$\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz=\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(isqrt((x-z_1)(x-z_2)))/xdx=-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(sqrt((x-z_1)(z_2-x)))/xdx$

$-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz=-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(isqrt((x-z_1)(x-z_2)))/xdx=-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(sqrt((x-z_1)(z_2-x)))/xdx$

Integrale

$\int_{x_1}^{x_2}(sqrt((x-x_1)(x_2-x)))/xdx=\pi((x_1+x_2)/2-sqrt(x_1x_2))$

Ad ogni modo, per non commettere errori, devi prestare la massima attenzione alle diverse determinazioni della funzione polidroma. Se non riesci da solo con l'aiuto della soluzione, fammi sapere.