Esercizio funzione di Green?
Salve a tutti, ho iniziato a studiare i problemi ai limiti e la funzione di Green e già inizio a trovare le prime difficoltà, in particolare su questo esercizio :
Il mio dubbio è come fa a scegliere la $ y_1(x) $ e la $ y_2(x) $ proprio come le ha scelte?
Il mio dubbio è come fa a scegliere la $ y_1(x) $ e la $ y_2(x) $ proprio come le ha scelte?
Risposte
Ciao Omi,
Innanzitutto cerca di evitare di postare foto: qui fra l'altro il problema è piuttosto circoscritto, non era certo necessario riportare la foto di tutta la pagina...
Beh, comunque non è che c'è una gran scelta semplice dato che si lavora in $[0, 1]$; l'integrale generale è $ y(x) = c_0 + c_1 x $ (che è l'equazione di una retta) ed il problema ci dice che deve essere $y(0) = y(1) = 0 $, da cui si ha $c_0 = 0 $ e $c_1 = - c_0 $: quindi o si scelgono tutte le costanti nulle (così però si ottiene la soluzione banale $ y(x) = 0 $), oppure $c_0 = 0$ e $c_1 = 1 $ oppure si scelgono $ c_0 = 1 \implies c_1 = - 1 $ (ma anche ad esempio $ c_0 = - 1 \implies c_1 = 1 $) in modo che siano soddisfatte le condizioni al contorno. Con le scelte proposte dal testo $y_1(x) = x $ ($ c_0 = 0$ e $ c_1 = 1 $) e $y_2(x) = 1 - x $ ($ c_0 = 1$ e $ c_1 = - 1 $) si ha $y_i (x) \ge 0 $ per $x \in [0, 1] $, $i = 1, 2 $.
Innanzitutto cerca di evitare di postare foto: qui fra l'altro il problema è piuttosto circoscritto, non era certo necessario riportare la foto di tutta la pagina...
Beh, comunque non è che c'è una gran scelta semplice dato che si lavora in $[0, 1]$; l'integrale generale è $ y(x) = c_0 + c_1 x $ (che è l'equazione di una retta) ed il problema ci dice che deve essere $y(0) = y(1) = 0 $, da cui si ha $c_0 = 0 $ e $c_1 = - c_0 $: quindi o si scelgono tutte le costanti nulle (così però si ottiene la soluzione banale $ y(x) = 0 $), oppure $c_0 = 0$ e $c_1 = 1 $ oppure si scelgono $ c_0 = 1 \implies c_1 = - 1 $ (ma anche ad esempio $ c_0 = - 1 \implies c_1 = 1 $) in modo che siano soddisfatte le condizioni al contorno. Con le scelte proposte dal testo $y_1(x) = x $ ($ c_0 = 0$ e $ c_1 = 1 $) e $y_2(x) = 1 - x $ ($ c_0 = 1$ e $ c_1 = - 1 $) si ha $y_i (x) \ge 0 $ per $x \in [0, 1] $, $i = 1, 2 $.
Ciao Pillo, grazie come sempre per essere disponibile. Non capisco però tu cosa intendi quando dici che devono essere soddisfatte le condizioni a contorno. Quali sarebbero?
Quali possono essere? $y(0)=0, y(1)=0$. Non ce ne sono altre
Dissonance perdonami ma se deve rispettare quelle condizioni, viene per forza la soluzione banale.. come fa a scegliere $ c_0=0 $ e $ c_1=1 $ ad esempio?
Certamente. Ma guarda il disegno, quel quadrato tagliato a metà. La tua funzione \(y_1=y_1(x)\) non arriva mai a vedere \(x=b\). Quindi deve soddisfare solo la condizione su \(x=a\). Mentre l'altra funzione \(y_2=y_2(x)\) vede solo \(x=b\). E infatti, \(y_1(0)=0\) mentre \(y_2(1)=0\).
Dissonance ti confesso che guardando il disegno non riesco a capire quanto mi hai scritto.. però seguendo alla lettera quanto mi hai detto e se non ho capito male, per $ y_1(x) $ ottengo sfruttando solo la condizione $ y(0)=0 $
$ c_0=0 $ mentre $ c_1 $ posso sceglierla arbitraria, in questo caso scelgo $ c_1 =1 $ e avrò $ y_1(x) = x $. Mentre per $ y_2 $ sfruttando la condizione $ y(1)=0 $ ottengo $ c_1=-c_0 $ quindi scelgo $ c_0 $ arbitraria in questo caso 1 e avrò $ c_1 = -1 $ da cui $ y_2(x)= 1 - x $ è corretto? Quindi le costanti sono arbitrarie e potevo scegliere qualsiasi numero giusto?
$ c_0=0 $ mentre $ c_1 $ posso sceglierla arbitraria, in questo caso scelgo $ c_1 =1 $ e avrò $ y_1(x) = x $. Mentre per $ y_2 $ sfruttando la condizione $ y(1)=0 $ ottengo $ c_1=-c_0 $ quindi scelgo $ c_0 $ arbitraria in questo caso 1 e avrò $ c_1 = -1 $ da cui $ y_2(x)= 1 - x $ è corretto? Quindi le costanti sono arbitrarie e potevo scegliere qualsiasi numero giusto?
Senti, non mi ricordo TUTTI i dettagli, devi consultare il testo. Mi pare che devi imporre pure qualche condizione per \(x=\xi\), quindi non so se puoi prendere proprio qualsiasi costante.
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