Esercizietto su $\sigma$-finitezza

[feddy]

Ciao a tutti,

in un rapido recap di T.d.M. ho trovato il seguente esercizio:

Show that a Lebesgue-measurable function $f:RR^n \rarr [0,+\infty]$ is $\sigma$-finite iff $m({x \in RR^n:f(x)=+\infty})=0$

Con $m$ intendo la misura di Lebesgue.

La definizione di funzione $\sigma$-finita è che $RR^n$ può essere decomposto in una unione numerabile di misurabili $A_i$ tale che in ognuno di questi $f$ è sommabile.

[size=150]<=[/size]
Definisco $A_i= {x \in RR^n : i \leq f(x)
Evidentemente $\cup_{i =1}^{+\infty} A_i \cup {x:RR^n: f(x)=+\infty} = RR^n$. Se $m(A_i) < +\infty$, allora sicuramente

$\int_{A_i} |f(x)|dx \leq m(A_i) \text{sup}_{x \in A_i} f(x)< +\infty $

L'ultima disuguaglianza discende dall'ipotesi fatta sull'insieme dove $f$ assume valore ${+\infty}$
[Ho scritto assume valore, invece che diverge, poiché utilizzo la convenzione che $+\infty$ è un vero e proprio valore assunto dalla funzione. Da quanto capito anche nei corsi precedenti, questa è una convenzione fatta per dare un "senso" ad esempio al calcolo di $\int_{RR} 0 dx=0 \cdot +\infty =0$. Ma mi piacerebbe avere altri pareri sulla questione]

[size=150]=>[/size]
Se $f$ è sigma finita, allora per ipotesi esistono $A_i$ misurabili, con $m(A_i) < +\infty$, tali che su ciascuno di questi $f$ è sommabile, cioè come prima

$\int_{A_i} |f(x)|dx e questo accade per ogni $i =1,\ldots, N$. Quindi in particolare deve essere $\text{sup}_{x \in A_i} f(x) \ne +\infty$ per ogni $x \in A_i$ e per ogni $i=1,\ldots,N$. Da cui segue la tesi.

Mi pare di non aver commesso sbavature, in caso contrario sono felice di capire cosa sto sbagliando

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Risposte

Bremen000

8 ott 2018, 17:21

"feddy":
Definisco $A_i= {x \in RR^n : i \leq f(x)

\( i \in \mathbb{Z} \)?

"feddy":Graficamente si vede subito che ciascun $ A_i= f^{-1}([i,i+1)) $, e poiché $ f $ è Lebesgue-misurabile, allora vale che la controimmagine di $ [i,i+1) $ mediante $ f $ è misurabile.

Non capisco il "graficamente". Tu hai già definito \(A_i = f^{-1}([i,i+1)) \) che è quindi misurabile pr definizione di funzione misurabile.

Forse non ho capito bene la definizione ma tu non sai (per come sono costruiti) che \( m(A_i) < \infty \) e quindi non puoi concludere che \( f \) sia sommabile sugli \( A_i\) in quel modo. Per dire, la funzione costante \( f(x) =1 \) è certamente misurabile ma \( A_1 = \mathbb{R}^n \).

Anche io in teoria della misura ho visto spesso usare \( f: X \to [0, + \infty] \), si intende proprio che \(f \) può assumere il valore \( +\infty \) che è un oggetto ben definito con certe proprietà (di cui tu ne hai citato una per esempio).

"feddy":
Se $ f $ è sigma finita, allora per ipotesi esistono $ A_i $ misurabili, con $ m(A_i) < +\infty $,

Anche qua, perché assumi \( m(A_i) < \infty \) ?

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feddy

8 ott 2018, 17:51

Ciao Bremen!

Non capisco il "graficamente".

Certo, si tratta di una frase che volevo scrivere e poi non ho rimosso Correggo.

Per quanto riguarda il resto: $m(A_i)$ l'ho assunta senza rendermene conto e in effetti non compare nella definizione di funzione sigma-finita, e quindi come dici giustamente tu, non posso usarla.

A questo punto però salta tutta la baracca.

Cos' dovrebbe funzionare: se non vale $m(A_i)<+\infty$, allora, grazie alla sigma-finitezza della misura di Lebesgue, posso decomporre ciascun $A_i$ in una sequenza di insiemi $A_{ij}$, $j \in N$ tali che $m(A_{ij})<+\infty$ per ogni $j \in NN$.

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Sk_Anonymous

8 ott 2018, 18:40

Prova a considerare \( C_{i,k} := A_i \cap B_k (0) \) con \( (i,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), essendo \( B_k (0) \) le palle di centro l'origine e raggio \( k \).

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feddy

8 ott 2018, 19:00

Ciao Delirium! In questo momento non ho tempo per pensarvi molto, ma secondo me l'ultima osservazione nel precedente post è legata alla tua. Se gli $A_i$ non hanno misura finita, allora li decompongo, grazie alla sigma-finitezza di $m$ in una sequenza numerabile di insiemi (misurabili) di misura finita: ho proprio idea che sia quello che hai scritto tu!

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Bremen000

8 ott 2018, 19:04

"feddy":
Cos' dovrebbe funzionare: se non vale $m(A_i)<+\infty$, allora, grazie alla sigma-finitezza della misura di Lebesgue, posso decomporre ciascun $A_i$ in una sequenza di insiemi $A_{ij}$, $j \in N$ tali che $m(A_{ij})<+\infty$ per ogni $j \in NN$.

Si, è l'idea del suggerimento di Delirium[nota]A rigore tu non sai che tali $A_{ij} $ esistono perché sai che \( \mathbb{R}^n\) è $\sigma$-finito, non i suoi sottoinsiemi misurabili. Il che è ovvio, però non so quanto tu voglia essere puntiglioso. Il suggerimento di Delirium taglia la testa al toro perché fornisce una costruzione esplicita per gli $A_{ij}$[/nota] anche se mi sa che se gli $A_i$ sono i tuoi, ci vuole $i \in \mathbb{Z}$.

Da qua come continui?

EDIT: vedo che ci troviamo tutti d'accordo sulla costruzione da usare

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feddy

10 ott 2018, 15:36

Scusate il ritardo nella risposta, cerco in poco tempo di sistemare il tutto: spero vada bene

Se $m(A_i)$ non ha misura finita, allora con la successione proposta da Delirium si ha $\cup_{i,k} C_{i,k} = RR^n$ e per costruzione $m(C_{i,k}) < \+infty$. Quello che deve succedere affinché $f$ sia sigma-finita è che $f$ sia sommabile su ciascun intervallo con cui ricopro $RR^n$:

$\int_{C_{i,k}} |f| dx \leq m(C_{i,k}) \cdot \text{sup}_{x \in C_{i,k}} |f(x)| \quad \forall (i,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

Ma allora da qui segue che deve essere $m(x \in RR^n: f(x)=+\infty})=0$ poiché tutti i $C_{i,k}$ hanno misura finita e per ipotesi $f$ è sigma-finita.

L'implicazione opposta ([size=150]<=[/size]) si prova come nel mio primo messaggio, avendo cura di considerare come ora il caso $m(A_i)=+\infty$ (e $i \in \mathbb{Z}$)

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Bremen000

10 ott 2018, 16:22

Mah, non mi torna tanto quello che dici per l'implicazione \( \Rightarrow \) : non è detto che il \( \sup_{C_{j,k}}|f| \ne + \infty \). Per esempio se

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \quad & \text{se } x \ne 0 \\ 0 \quad & \text{se } x =0 \end{cases}\]

Allora su \( C=[0,1] \) la funzione $f$ è sommabile ma \( \sup_{C} |f| = + \infty \).

Per l'implicazione \( \Leftarrow \) invece va bene con la modifica proposta.

Per la \( \Rightarrow \) io procederei per assurdo ma sono gusti...

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feddy

10 ott 2018, 17:06

****, hai ragione. Grazie

Quindi... suppongo che sia $m({x \in RR^n: f(x) = +\infty}) \ne 0$. Wlog posso assumere che questo accada anche in un solo insieme $A$, $0 Ma allora $int_{A} f dx = +\infty$, che è assurdo perché tale integrale deve essere finito se calcolato su uno degli $A_i$ o un sottoinsieme dell'unione degli $A_i$.

P.S.:Credi non ci sia un modo per provare $\Rightarrow$ senza procedere per assurdo?

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Bremen000

10 ott 2018, 18:59

Ok ora mi sembra che la dimostrazione di \( \Rightarrow \) funzioni più o meno. Non mi è chiarissimo quando tiri in ballo \( A \) e non vorrei che tu stessi considerando gli \(A_i \) di prima (cosa che sarebbe sbagliata); a scanso di equivoci:

Sia \( f : \mathbb{R}^n \to [0, +\infty] \) misurabile e sia \(B =\{ x \in \mathbb{R}^n : f(x)=+\infty \} \). Supponiamo sia \( m(B) >0 \) e sia \( \{A_i \}_{i \in \mathbb{N}} \) una qualsiasi successione di insiemi misurabili la cui unione è \( \mathbb{R}^n \). Necessariamente esiste \( i_0 \in \mathbb{N} \) t.c. \( m(B \cap A_{i_0} ) > 0 \) (perché?).

Ma allora

\[ \int_{A_{i_0}} f dm \ge \int_{A_{i_0} \cap B} dm = + \infty \]

cioè \( f \) non è sommabile su tutti gli \(A_i \). Fine.

Forse si può fare anche in modo diretto ma questa mi sembra la via più agevole! Credo che questo risultato si generalizzi senza sforzo sostituendo a \( \mathbb{R}^n \) un qualsiasi spazio di misura sigma finito (almeno, la dimostrazione che ho messo va bene pari pari).

P.S: : hai abbandonato la numerica per darti alla TdM? A parte gli scherzi, ho visto che te ne intendi parecchio di numerica e penso tu faccia matematica! E' un fenomeno singolare, o è solo una mia impressione?

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feddy

10 ott 2018, 19:37

Certamente $A$ non appartiene alla famiglia degli $A_i$ ! L'ho scelto senza indice apposta, solo che in effetti mi rendo conto possa sembrare un refuso

"Bremen000":[...] Necessariamente esiste \( i_0 \in \mathbb{N} \) t.c. \( m(B \cap A_{i_0} ) > 0 \) (perché?).

$i_0$ esiste perché essendo l'unione degli $A_i$ tutto $RR^n$, ed essendo $B$ un sottoinsieme di $RR^n$ di misura non nulla, allora deve essere un $A_i$ che ha intersezione deve essere non banale con $B$, da cui l'esistenza di tale indice $i_0$.

Tutto ok?

"Bremen000":P.S: : hai abbandonato la numerica per darti alla TdM? A parte gli scherzi, ho visto che te ne intendi parecchio di numerica e penso tu faccia matematica! E' un fenomeno singolare, o è solo una mia impressione?

Ahah diciamo che sulla numerica vado tranquillo per ora ! Ti ringrazio comunque, lo stesso devo dirlo per te su TdM!

Ho iniziato ora analisi funzionale, ma questi esercizi li sto facendo un po' così per non lasciare nulla al caso diciamo, e sono abbastanza utili
Ho iniziato il primo anno di magistrale in Matematica, ma diciamo che ho scelto un curriculum molto "computational". Da quello che ho notato finora nella mia brevissima esperienza gli analisti numerici sono visti come delle specie di orchi da alcuni cerchie di matematici (vai a capire perché poi...), ma mi sono sempre sembrate cose abbastanza sterili
E' verissimo quello che dici, a Matematica molti la "odiano", ma secondo me antepongono l'aspetto "pratico" dell'implementazione (fondamentale, per carità!) al vero nocciolo della materia, che altro non è che analisi.

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Bremen000

10 ott 2018, 20:22

"feddy":
$i_0$ esiste perché essendo l'unione degli $A_i$ tutto $RR^n$, ed essendo $B$ un sottoinsieme di $RR^n$ di misura non nulla, allora deve essere un $A_i$ che ha intersezione deve essere non banale con $B$, da cui l'esistenza di tale indice $i_0$.

Tutto ok?

Oddio, così è un po' tautologico e se con "non banale" intendi "diverso dal vuoto", allora non va bene perché a priori potrebbe essere che \(B \) interseca solo degli \( A_i \) di misura nulla; io direi così: se tale \( i_0 \) non esistesse[nota]Si noti la mia deformazione mentale a procedere per assurdo[/nota]si avrebbe \( m(A_i \cap B) =0 \) per ogni \( i \in \mathbb{N} \) ma allora

\[ m(B) = m ( B \cap \mathbb{R}^n ) = m \biggl ( B \cap \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \biggr ) = m \biggl ( \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B \cap A_i \biggr ) \le \sum_{i \in \mathbb{N}} m(A_i \cap B) = \sum_{i \in \mathbb{N}} 0 =0 \]

da cui \( m(B)=0 \) che è assurdo.

Sono contento che qualcuno così partecipe sul forum come te e anto inizi corsi che si incasellano in analisi superiore: diciamo che gli esercizi sui residui e sulle trasformate che popolano la sezione non sono i miei preferiti. Insomma sono sicuro che sarà l'occasione per avere delle belle discussioni su questi argomenti!

Per la questione di numerica allora confermi la mia impressione. Io vivo la situazione opposta: vengo da ingegneria matematica e quindi lì la numerica pervade il dipartimento mentre discipline più teoriche sono meno valorizzate! Inoltre, sempre nel ruolo di tuo simmetrico, ti confesso che sebbene abbia fatto diversi corsi anche interessanti (su pde, navier-stokes, sistemi di pde...) di numerica, è una disciplina che proprio non mi va giù!

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feddy

10 ott 2018, 21:14

La tua argomentazione è perfetta e chiarissima, la mia era una semplice "idea", non voleva essere nulla di formale, ma ti ringrazio per la completezza ! E sì, per assurdo è sicuramente la via migliore

Sono contento che qualcuno così partecipe sul forum come te e anto inizi corsi che si incasellano in analisi superiore: diciamo che gli esercizi sui residui e sulle trasformate che popolano la sezione non sono i miei preferiti. Insomma sono sicuro che sarà l'occasione per avere delle belle discussioni su questi argomenti!

Assolutamente
Trasformate (Laplace,Fourier,Zeta,ecc..), residui, ecc. li ho fatti ad Analisi Complessa, che ho trovato molto bella, ma purtroppo le richieste qui in genere si limitano a integrali da svolgere coi residui (pieni di contazzi) o trasformate fatte senza pensarci troppo sù. Sono contento pure io di aver iniziato, sono piuttosto certo che avrò qualche curiosità/domanda da porvi.


Off-topic numerico
[ot]Sarò sincero: probabilmente senza un bravo professore ("bravo" inteso come capacità di trasmettere i contenuti) è una disciplina che rischia di sembrare estremamente arida. Almeno così la vedo io. Poi ovviamente a uno deve piacere un minimo la filosofia della materia (e saper programmare )[/ot]

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Sk_Anonymous

10 ott 2018, 21:46

"Bremen000":[...] Forse si può fare anche in modo diretto ma questa mi sembra la via più agevole! [...]

Penso si possa fare con la disuguaglianza di Chebyshev: per non appesantire la notazione assumo che \( f \ge 0 \) su tutto \( \mathbb{R}^n \);
\[ N_i= \{ x \in A_i \, : \, f(x) = + \infty \} \subseteq \{ x \in A_i \, : \, f(x) \ge n \} \quad \forall \, n \] e \[ m ( \{ x \in A_i \, : \, f(x) \ge n \} ) \le \frac{1}{n} \int_{A_i} f \]donde \[ m \left( \bigcup_i N_i \right) = m ( \{f = + \infty \}) = 0.\]

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[Bremen000]

"feddy":
Definisco $A_i= {x \in RR^n : i \leq f(x)

\( i \in \mathbb{Z} \)?

"feddy":Graficamente si vede subito che ciascun $ A_i= f^{-1}([i,i+1)) $, e poiché $ f $ è Lebesgue-misurabile, allora vale che la controimmagine di $ [i,i+1) $ mediante $ f $ è misurabile.

Non capisco il "graficamente". Tu hai già definito \(A_i = f^{-1}([i,i+1)) \) che è quindi misurabile pr definizione di funzione misurabile.

Forse non ho capito bene la definizione ma tu non sai (per come sono costruiti) che \( m(A_i) < \infty \) e quindi non puoi concludere che \( f \) sia sommabile sugli \( A_i\) in quel modo. Per dire, la funzione costante \( f(x) =1 \) è certamente misurabile ma \( A_1 = \mathbb{R}^n \).

Anche io in teoria della misura ho visto spesso usare \( f: X \to [0, + \infty] \), si intende proprio che \(f \) può assumere il valore \( +\infty \) che è un oggetto ben definito con certe proprietà (di cui tu ne hai citato una per esempio).

"feddy":
Se $ f $ è sigma finita, allora per ipotesi esistono $ A_i $ misurabili, con $ m(A_i) < +\infty $,

Anche qua, perché assumi \( m(A_i) < \infty \) ?

[feddy]

Ciao Bremen!

Non capisco il "graficamente".

Certo, si tratta di una frase che volevo scrivere e poi non ho rimosso Correggo.

Per quanto riguarda il resto: $m(A_i)$ l'ho assunta senza rendermene conto e in effetti non compare nella definizione di funzione sigma-finita, e quindi come dici giustamente tu, non posso usarla.

A questo punto però salta tutta la baracca.

Cos' dovrebbe funzionare: se non vale $m(A_i)<+\infty$, allora, grazie alla sigma-finitezza della misura di Lebesgue, posso decomporre ciascun $A_i$ in una sequenza di insiemi $A_{ij}$, $j \in N$ tali che $m(A_{ij})<+\infty$ per ogni $j \in NN$.

[Sk_Anonymous]

Prova a considerare \( C_{i,k} := A_i \cap B_k (0) \) con \( (i,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), essendo \( B_k (0) \) le palle di centro l'origine e raggio \( k \).

[feddy]

Ciao Delirium! In questo momento non ho tempo per pensarvi molto, ma secondo me l'ultima osservazione nel precedente post è legata alla tua. Se gli $A_i$ non hanno misura finita, allora li decompongo, grazie alla sigma-finitezza di $m$ in una sequenza numerabile di insiemi (misurabili) di misura finita: ho proprio idea che sia quello che hai scritto tu!

[Bremen000]

"feddy":
Cos' dovrebbe funzionare: se non vale $m(A_i)<+\infty$, allora, grazie alla sigma-finitezza della misura di Lebesgue, posso decomporre ciascun $A_i$ in una sequenza di insiemi $A_{ij}$, $j \in N$ tali che $m(A_{ij})<+\infty$ per ogni $j \in NN$.

Si, è l'idea del suggerimento di Delirium[nota]A rigore tu non sai che tali $A_{ij} $ esistono perché sai che \( \mathbb{R}^n\) è $\sigma$-finito, non i suoi sottoinsiemi misurabili. Il che è ovvio, però non so quanto tu voglia essere puntiglioso. Il suggerimento di Delirium taglia la testa al toro perché fornisce una costruzione esplicita per gli $A_{ij}$[/nota] anche se mi sa che se gli $A_i$ sono i tuoi, ci vuole $i \in \mathbb{Z}$.

Da qua come continui?

EDIT: vedo che ci troviamo tutti d'accordo sulla costruzione da usare

[feddy]

Scusate il ritardo nella risposta, cerco in poco tempo di sistemare il tutto: spero vada bene

Se $m(A_i)$ non ha misura finita, allora con la successione proposta da Delirium si ha $\cup_{i,k} C_{i,k} = RR^n$ e per costruzione $m(C_{i,k}) < \+infty$. Quello che deve succedere affinché $f$ sia sigma-finita è che $f$ sia sommabile su ciascun intervallo con cui ricopro $RR^n$:

$\int_{C_{i,k}} |f| dx \leq m(C_{i,k}) \cdot \text{sup}_{x \in C_{i,k}} |f(x)| \quad \forall (i,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

Ma allora da qui segue che deve essere $m(x \in RR^n: f(x)=+\infty})=0$ poiché tutti i $C_{i,k}$ hanno misura finita e per ipotesi $f$ è sigma-finita.

L'implicazione opposta ([size=150]<=[/size]) si prova come nel mio primo messaggio, avendo cura di considerare come ora il caso $m(A_i)=+\infty$ (e $i \in \mathbb{Z}$)

[Bremen000]

Mah, non mi torna tanto quello che dici per l'implicazione \( \Rightarrow \) : non è detto che il \( \sup_{C_{j,k}}|f| \ne + \infty \). Per esempio se

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \quad & \text{se } x \ne 0 \\ 0 \quad & \text{se } x =0 \end{cases}\]

Allora su \( C=[0,1] \) la funzione $f$ è sommabile ma \( \sup_{C} |f| = + \infty \).

Per l'implicazione \( \Leftarrow \) invece va bene con la modifica proposta.

Per la \( \Rightarrow \) io procederei per assurdo ma sono gusti...

[feddy]

****, hai ragione. Grazie

Quindi... suppongo che sia $m({x \in RR^n: f(x) = +\infty}) \ne 0$. Wlog posso assumere che questo accada anche in un solo insieme $A$, $0 Ma allora $int_{A} f dx = +\infty$, che è assurdo perché tale integrale deve essere finito se calcolato su uno degli $A_i$ o un sottoinsieme dell'unione degli $A_i$.

P.S.:Credi non ci sia un modo per provare $\Rightarrow$ senza procedere per assurdo?

[Bremen000]

Ok ora mi sembra che la dimostrazione di \( \Rightarrow \) funzioni più o meno. Non mi è chiarissimo quando tiri in ballo \( A \) e non vorrei che tu stessi considerando gli \(A_i \) di prima (cosa che sarebbe sbagliata); a scanso di equivoci:

Sia \( f : \mathbb{R}^n \to [0, +\infty] \) misurabile e sia \(B =\{ x \in \mathbb{R}^n : f(x)=+\infty \} \). Supponiamo sia \( m(B) >0 \) e sia \( \{A_i \}_{i \in \mathbb{N}} \) una qualsiasi successione di insiemi misurabili la cui unione è \( \mathbb{R}^n \). Necessariamente esiste \( i_0 \in \mathbb{N} \) t.c. \( m(B \cap A_{i_0} ) > 0 \) (perché?).

Ma allora

\[ \int_{A_{i_0}} f dm \ge \int_{A_{i_0} \cap B} dm = + \infty \]

cioè \( f \) non è sommabile su tutti gli \(A_i \). Fine.

Forse si può fare anche in modo diretto ma questa mi sembra la via più agevole! Credo che questo risultato si generalizzi senza sforzo sostituendo a \( \mathbb{R}^n \) un qualsiasi spazio di misura sigma finito (almeno, la dimostrazione che ho messo va bene pari pari).

P.S: : hai abbandonato la numerica per darti alla TdM? A parte gli scherzi, ho visto che te ne intendi parecchio di numerica e penso tu faccia matematica! E' un fenomeno singolare, o è solo una mia impressione?

[feddy]

Certamente $A$ non appartiene alla famiglia degli $A_i$ ! L'ho scelto senza indice apposta, solo che in effetti mi rendo conto possa sembrare un refuso

"Bremen000":[...] Necessariamente esiste \( i_0 \in \mathbb{N} \) t.c. \( m(B \cap A_{i_0} ) > 0 \) (perché?).

$i_0$ esiste perché essendo l'unione degli $A_i$ tutto $RR^n$, ed essendo $B$ un sottoinsieme di $RR^n$ di misura non nulla, allora deve essere un $A_i$ che ha intersezione deve essere non banale con $B$, da cui l'esistenza di tale indice $i_0$.

Tutto ok?

"Bremen000":P.S: : hai abbandonato la numerica per darti alla TdM? A parte gli scherzi, ho visto che te ne intendi parecchio di numerica e penso tu faccia matematica! E' un fenomeno singolare, o è solo una mia impressione?

Ahah diciamo che sulla numerica vado tranquillo per ora ! Ti ringrazio comunque, lo stesso devo dirlo per te su TdM!

Ho iniziato ora analisi funzionale, ma questi esercizi li sto facendo un po' così per non lasciare nulla al caso diciamo, e sono abbastanza utili
Ho iniziato il primo anno di magistrale in Matematica, ma diciamo che ho scelto un curriculum molto "computational". Da quello che ho notato finora nella mia brevissima esperienza gli analisti numerici sono visti come delle specie di orchi da alcuni cerchie di matematici (vai a capire perché poi...), ma mi sono sempre sembrate cose abbastanza sterili
E' verissimo quello che dici, a Matematica molti la "odiano", ma secondo me antepongono l'aspetto "pratico" dell'implementazione (fondamentale, per carità!) al vero nocciolo della materia, che altro non è che analisi.

[Bremen000]

"feddy":
$i_0$ esiste perché essendo l'unione degli $A_i$ tutto $RR^n$, ed essendo $B$ un sottoinsieme di $RR^n$ di misura non nulla, allora deve essere un $A_i$ che ha intersezione deve essere non banale con $B$, da cui l'esistenza di tale indice $i_0$.

Tutto ok?

Oddio, così è un po' tautologico e se con "non banale" intendi "diverso dal vuoto", allora non va bene perché a priori potrebbe essere che \(B \) interseca solo degli \( A_i \) di misura nulla; io direi così: se tale \( i_0 \) non esistesse[nota]Si noti la mia deformazione mentale a procedere per assurdo[/nota]si avrebbe \( m(A_i \cap B) =0 \) per ogni \( i \in \mathbb{N} \) ma allora

\[ m(B) = m ( B \cap \mathbb{R}^n ) = m \biggl ( B \cap \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \biggr ) = m \biggl ( \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B \cap A_i \biggr ) \le \sum_{i \in \mathbb{N}} m(A_i \cap B) = \sum_{i \in \mathbb{N}} 0 =0 \]

da cui \( m(B)=0 \) che è assurdo.

Sono contento che qualcuno così partecipe sul forum come te e anto inizi corsi che si incasellano in analisi superiore: diciamo che gli esercizi sui residui e sulle trasformate che popolano la sezione non sono i miei preferiti. Insomma sono sicuro che sarà l'occasione per avere delle belle discussioni su questi argomenti!

Per la questione di numerica allora confermi la mia impressione. Io vivo la situazione opposta: vengo da ingegneria matematica e quindi lì la numerica pervade il dipartimento mentre discipline più teoriche sono meno valorizzate! Inoltre, sempre nel ruolo di tuo simmetrico, ti confesso che sebbene abbia fatto diversi corsi anche interessanti (su pde, navier-stokes, sistemi di pde...) di numerica, è una disciplina che proprio non mi va giù!

[feddy]

La tua argomentazione è perfetta e chiarissima, la mia era una semplice "idea", non voleva essere nulla di formale, ma ti ringrazio per la completezza ! E sì, per assurdo è sicuramente la via migliore

Sono contento che qualcuno così partecipe sul forum come te e anto inizi corsi che si incasellano in analisi superiore: diciamo che gli esercizi sui residui e sulle trasformate che popolano la sezione non sono i miei preferiti. Insomma sono sicuro che sarà l'occasione per avere delle belle discussioni su questi argomenti!

Assolutamente
Trasformate (Laplace,Fourier,Zeta,ecc..), residui, ecc. li ho fatti ad Analisi Complessa, che ho trovato molto bella, ma purtroppo le richieste qui in genere si limitano a integrali da svolgere coi residui (pieni di contazzi) o trasformate fatte senza pensarci troppo sù. Sono contento pure io di aver iniziato, sono piuttosto certo che avrò qualche curiosità/domanda da porvi.


Off-topic numerico
[ot]Sarò sincero: probabilmente senza un bravo professore ("bravo" inteso come capacità di trasmettere i contenuti) è una disciplina che rischia di sembrare estremamente arida. Almeno così la vedo io. Poi ovviamente a uno deve piacere un minimo la filosofia della materia (e saper programmare )[/ot]

[Sk_Anonymous]

"Bremen000":[...] Forse si può fare anche in modo diretto ma questa mi sembra la via più agevole! [...]

Penso si possa fare con la disuguaglianza di Chebyshev: per non appesantire la notazione assumo che \( f \ge 0 \) su tutto \( \mathbb{R}^n \);
\[ N_i= \{ x \in A_i \, : \, f(x) = + \infty \} \subseteq \{ x \in A_i \, : \, f(x) \ge n \} \quad \forall \, n \] e \[ m ( \{ x \in A_i \, : \, f(x) \ge n \} ) \le \frac{1}{n} \int_{A_i} f \]donde \[ m \left( \bigcup_i N_i \right) = m ( \{f = + \infty \}) = 0.\]