Esercizi sulle trasformate di Fourier.
Ciao, vorrei proporre qualche altro esercizietto, stavolta su Fourier. Sono tratti da Fourier Analysis, G.B. Folland, spero sia un buon libro da sfogliacchiare. Comincio da questo:
i) Per \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{F}(e^{iax}f(x))=\hat f(\xi-a) \). Inoltre, per \(\displaystyle \delta>0 \) e \(\displaystyle f_{\delta}=\delta^{-1}f(x/\delta) \), si ha \(\displaystyle \hat{f_\delta}(\xi)=\hat f(\delta\xi) \) e \(\displaystyle \mathcal{F}f(\delta x)=\hat{f_\delta}(\xi) \). \[\displaystyle \bullet \ \int e^{iax-i\xi x}f(x) \ dx=\int e^{i(a-\xi)x}f(x) \ dx\underset{[\xi'= \ \xi-a]}{=}\int e^{-i\xi' x}f(x) \ dx=\hat f(\xi')=\hat f(\xi-a); \\ \bullet \ \int \delta^{-1}e^{-i\xi x}f(x/\delta) \ dx\underset{[x' \ = \ x/\delta, \ \xi' \ = \ \delta\xi]}{=}\int \delta\delta^{-1} e^{-i\xi' x}f(x') \ dx'=\hat f(\xi')=\hat f(\delta \xi); \\ \bullet \int e^{-i\xi x}f(\delta x)\underset{x' \ = \ \delta x}{=}\int \delta^{-1}e^{-i\xi x'/\delta}f(x') \ dx'\underset{\xi' \ = \xi/\delta}{=}\int \delta^{-1}e^{-i\xi' x'}f(x') \ dx'=\delta^{-1}\hat f(\xi')=\delta^{-1}f(\xi/\delta). \] Formalmente le cose tornano, ma mi resta un dubbio. Ad esempio, il primissimo integrale del secondo punto è corretto? Oppure avrei dovuto moltiplicare la funzione per \(\displaystyle e^{-i\xi x/\delta} \) all'interno dell'integrale per coerenza con la variabile della funzione?
i) Per \(\displaystyle a\in\mathbb{R} \), dimostrare che \(\displaystyle \mathcal{F}(e^{iax}f(x))=\hat f(\xi-a) \). Inoltre, per \(\displaystyle \delta>0 \) e \(\displaystyle f_{\delta}=\delta^{-1}f(x/\delta) \), si ha \(\displaystyle \hat{f_\delta}(\xi)=\hat f(\delta\xi) \) e \(\displaystyle \mathcal{F}f(\delta x)=\hat{f_\delta}(\xi) \). \[\displaystyle \bullet \ \int e^{iax-i\xi x}f(x) \ dx=\int e^{i(a-\xi)x}f(x) \ dx\underset{[\xi'= \ \xi-a]}{=}\int e^{-i\xi' x}f(x) \ dx=\hat f(\xi')=\hat f(\xi-a); \\ \bullet \ \int \delta^{-1}e^{-i\xi x}f(x/\delta) \ dx\underset{[x' \ = \ x/\delta, \ \xi' \ = \ \delta\xi]}{=}\int \delta\delta^{-1} e^{-i\xi' x}f(x') \ dx'=\hat f(\xi')=\hat f(\delta \xi); \\ \bullet \int e^{-i\xi x}f(\delta x)\underset{x' \ = \ \delta x}{=}\int \delta^{-1}e^{-i\xi x'/\delta}f(x') \ dx'\underset{\xi' \ = \xi/\delta}{=}\int \delta^{-1}e^{-i\xi' x'}f(x') \ dx'=\delta^{-1}\hat f(\xi')=\delta^{-1}f(\xi/\delta). \] Formalmente le cose tornano, ma mi resta un dubbio. Ad esempio, il primissimo integrale del secondo punto è corretto? Oppure avrei dovuto moltiplicare la funzione per \(\displaystyle e^{-i\xi x/\delta} \) all'interno dell'integrale per coerenza con la variabile della funzione?
Risposte
Non entro nel merito, perché non ho controllato (d'altra parte, sono risultati standard)... Ma chiedo solamente: perché usare $delta$, che si usa per la distribuzione di Dirac?
Oppure avrei dovuto moltiplicare...
Va bene come hai fatto, altrimenti il giochino e' gia' finito.
Vedila come una funzione composta $f(g(x))$, la var. indipendente e' sempre la $x$.
Ciao, grazie per le risposte. Gugo, non saprei dire, in ogni caso è colpa del signor Folland.
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