Esercizi sulle distribuzioni.
Ciao a tutti. Vorrei proporre qualche esercizio, per cambiare un po' argomento, sulle distribuzioni. (mi serve impratichirmi un po' anche con queste, so che salto un po' di palo in frasca).
\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle H\in\mathcal{D}^*(\mathbb{R}^1) \) la distribuzione data dalla funzione di Heaviside, \[\displaystyle H(x)=\begin{cases} 1 & x>0, \\ 0 & x\le 0.\end{cases} \] Se \(\displaystyle h_n(x) \) è una successione di funzioni tale che \(\int h_n(x)\varphi(x) \ dx\to \langle H,\varphi\rangle \) per \(\displaystyle n\to\infty \) per ogni \(\displaystyle \varphi\in\mathcal{D} \), allora \(\int h'_n(x)\varphi(x) \ dx\to\langle\delta,\varphi\rangle.\)
Allora, integrando per parti e ricordando \(\displaystyle \varphi(\infty)\to 0 \) si ha: \[\displaystyle \lim_n\int h'_n(x)\varphi(x) \ dx=-\lim_n\int h_n(x)\varphi'(x) \ dx=-\langle H,\varphi'\rangle=\int_0^\infty \varphi'(x) \ dx=\varphi(0)-\varphi(\infty)=\varphi(0)=\\=\langle\delta,\varphi\rangle. \] Mi si chiede anche se cambia qualcosa ponendo \(\displaystyle H(x)=1 \) nell'origine. Non credo? Dopotutto le due funzioni sarebbero uguali quasi ovunque, quindi integrando secondo Lebesgue il risultato dovrebbe essere lo stesso....
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\(\displaystyle \bullet \)Sia \(\displaystyle f_n \) la distribuzione \(\displaystyle \langle f_n,\varphi\rangle=n(\varphi(1/n)-\varphi(-1/n) \). Cos'è \(\displaystyle \lim_n f_n \)?
Per questo esercizio ho un'idea ma non so bene come renderla formale. Chiaramente per \(\displaystyle n\to\infty \), \(\displaystyle \varphi(1/n)\to\varphi(0^+) \), mentre \(\displaystyle \varphi(-1/n)\to\varphi(0^-) \). Quindi la loro differenza è in un intorno piccolo a piacere dell'origine. Qualunque valore abbia la funzione test in quel punto, moltiplicarlo per $n$ garantisce che venga sparato all'infinito[nota]A meno che \(\displaystyle \varphi(0)=0 \), nel qual caso dovrebbe essere \(\displaystyle f\equiv 0 \)...[/nota]. Dunque il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle \langle\delta,\varphi\rangle \). Può avere senso tutto questo o è solo aria fritta?
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\(\displaystyle \bullet \) Sia per ogni \(\displaystyle a>0 \): dimostrare che \[\displaystyle \langle f_a,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^{-a} \frac{\varphi(x)}{|x|} \ dx+\int_{a}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{|x|} \ dx+ \int_{-a}^a\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{|x|} \ dx \] è una distribuzione. Se non sbaglio, in pratica il problema è far vedere che questi integrali sono convergenti. I primi due non hanno grossi problemi: è il terzo che ha una singolarità in un intorno dell'origine. Ma per \(\displaystyle x\to 0 \) l'integranda è la derivata di \(\displaystyle \varphi \), e vale \(\displaystyle \varphi'(0) \) (l'esistenza è garantita dal fatto che \(\displaystyle \varphi\in\mathcal{C}^\infty \)).
Quindi, ho una mezza idea di usare in qualche modo il teorema della media, ma non sono sicuro su come fare. Qualcuno ha un suggerimento?
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In generale, esistono dei criteri per stabilire subito se un certo operatore su un insieme di funzioni test sia o meno una distribuzione? Ad esempio, in un altro esercizio mi si chiede di mostrare che \(\displaystyle \langle f,\varphi\rangle=\varphi(0)^2 \) non definisce una distribuzione. Premesso che non sono sicuro di come siano definite le moltiplicazioni di distribuzioni, mi sembra che non sia soddisfatta la linearità: \[\displaystyle \langle \delta^2,\alpha\varphi\rangle=\alpha^2\varphi(0)^2\ne \alpha\varphi(0)^2=\alpha\langle \delta^2,\varphi\rangle \] Però cercando informazioni su \(\displaystyle \delta^2 \) ho trovato giustificazioni più impegnative (non da primo capitolo di un libro facile sulle distribuzioni), che mi fanno dubitare della correttezza della mia...
\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle H\in\mathcal{D}^*(\mathbb{R}^1) \) la distribuzione data dalla funzione di Heaviside, \[\displaystyle H(x)=\begin{cases} 1 & x>0, \\ 0 & x\le 0.\end{cases} \] Se \(\displaystyle h_n(x) \) è una successione di funzioni tale che \(\int h_n(x)\varphi(x) \ dx\to \langle H,\varphi\rangle \) per \(\displaystyle n\to\infty \) per ogni \(\displaystyle \varphi\in\mathcal{D} \), allora \(\int h'_n(x)\varphi(x) \ dx\to\langle\delta,\varphi\rangle.\)
Allora, integrando per parti e ricordando \(\displaystyle \varphi(\infty)\to 0 \) si ha: \[\displaystyle \lim_n\int h'_n(x)\varphi(x) \ dx=-\lim_n\int h_n(x)\varphi'(x) \ dx=-\langle H,\varphi'\rangle=\int_0^\infty \varphi'(x) \ dx=\varphi(0)-\varphi(\infty)=\varphi(0)=\\=\langle\delta,\varphi\rangle. \] Mi si chiede anche se cambia qualcosa ponendo \(\displaystyle H(x)=1 \) nell'origine. Non credo? Dopotutto le due funzioni sarebbero uguali quasi ovunque, quindi integrando secondo Lebesgue il risultato dovrebbe essere lo stesso....
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\(\displaystyle \bullet \)Sia \(\displaystyle f_n \) la distribuzione \(\displaystyle \langle f_n,\varphi\rangle=n(\varphi(1/n)-\varphi(-1/n) \). Cos'è \(\displaystyle \lim_n f_n \)?
Per questo esercizio ho un'idea ma non so bene come renderla formale. Chiaramente per \(\displaystyle n\to\infty \), \(\displaystyle \varphi(1/n)\to\varphi(0^+) \), mentre \(\displaystyle \varphi(-1/n)\to\varphi(0^-) \). Quindi la loro differenza è in un intorno piccolo a piacere dell'origine. Qualunque valore abbia la funzione test in quel punto, moltiplicarlo per $n$ garantisce che venga sparato all'infinito[nota]A meno che \(\displaystyle \varphi(0)=0 \), nel qual caso dovrebbe essere \(\displaystyle f\equiv 0 \)...[/nota]. Dunque il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle \langle\delta,\varphi\rangle \). Può avere senso tutto questo o è solo aria fritta?
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\(\displaystyle \bullet \) Sia per ogni \(\displaystyle a>0 \): dimostrare che \[\displaystyle \langle f_a,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^{-a} \frac{\varphi(x)}{|x|} \ dx+\int_{a}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{|x|} \ dx+ \int_{-a}^a\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{|x|} \ dx \] è una distribuzione. Se non sbaglio, in pratica il problema è far vedere che questi integrali sono convergenti. I primi due non hanno grossi problemi: è il terzo che ha una singolarità in un intorno dell'origine. Ma per \(\displaystyle x\to 0 \) l'integranda è la derivata di \(\displaystyle \varphi \), e vale \(\displaystyle \varphi'(0) \) (l'esistenza è garantita dal fatto che \(\displaystyle \varphi\in\mathcal{C}^\infty \)).
Quindi, ho una mezza idea di usare in qualche modo il teorema della media, ma non sono sicuro su come fare. Qualcuno ha un suggerimento?
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In generale, esistono dei criteri per stabilire subito se un certo operatore su un insieme di funzioni test sia o meno una distribuzione? Ad esempio, in un altro esercizio mi si chiede di mostrare che \(\displaystyle \langle f,\varphi\rangle=\varphi(0)^2 \) non definisce una distribuzione. Premesso che non sono sicuro di come siano definite le moltiplicazioni di distribuzioni, mi sembra che non sia soddisfatta la linearità: \[\displaystyle \langle \delta^2,\alpha\varphi\rangle=\alpha^2\varphi(0)^2\ne \alpha\varphi(0)^2=\alpha\langle \delta^2,\varphi\rangle \] Però cercando informazioni su \(\displaystyle \delta^2 \) ho trovato giustificazioni più impegnative (non da primo capitolo di un libro facile sulle distribuzioni), che mi fanno dubitare della correttezza della mia...
Risposte
Ciao, nel primo che regolarità hanno le \( h_n \) ? E no, non cambia nulla a cambiare il valore della funzione $H$ su un insieme di misura nulla. Questo dovrebbe esserti chiaro perché la distribuzione associata è definita dalla classe di equivalenza di $H$ in $L_{loc}^1$, che poi è quello che scrivi tu.
Ciao, non l'ho scritto, ma sono funzioni differenziabili. "La classe di equivalenza di $H$ in $ L_{loc}^1 $" in realtà mi è nuova come espressione, devo ammettere...
Se sono differenziabili allora va tutto bene (appariva una derivata che se no poteva non essere definita in senso classico e l'esercizio avrebbe perso abbastanza senso) a parte un $-$ che ti sei perso tra il terzo e il quarto passaggio che però hai recuperato tra il quarto e il quinto. L'espressione $ \phi(\infty) $ non è bella ma se sai cosa stai scrivendo va bene!
Il secondo: le \( \phi \) sono molto regolari, usa Taylor...
L'ultimo non ho tempo adesso di guardarlo!
Il secondo: le \( \phi \) sono molto regolari, usa Taylor...
L'ultimo non ho tempo adesso di guardarlo!
Eccomi, non so cosa sai degli spazi \( L^p \) ma in ogni caso il concetto è il seguente: se tu hai due funzioni $f$ e $g$ che sono entrambe in $L_{loc}^1$ e che sono uguali quasi ovunque allora sono lo stesso oggetto con gli "occhi di $L_{loc}^1$" (che è un'espressione poetica per dire una cosa matematicamente precisa ma che non so quanto ti interessi).
Quindi ad ogni funzione $f$ di $L_{loc}^1$ (e a tutte le funzioni uguali quasi ovunque a $f$) è associata la distribuzione
\[ \phi \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\phi \]
e questa definizione è consistente nel senso che se scegli $f$ o un'altra funzione $g$ uguale quasi ovunque a $f$ allora il risultato che ottieni è il medesimo per ogni $\phi$.
Nota: questo è un discorso abbastanza approssimativo che può essere reso formale e comprensibile. Ma non sono certo la "risorsa" indicata per farlo. Ci sono molti libri sull'argomento o anche utenti del forum ben più esperti di me.
Per il 4: sempre Taylor direi, vedi cosa succede...
Quindi ad ogni funzione $f$ di $L_{loc}^1$ (e a tutte le funzioni uguali quasi ovunque a $f$) è associata la distribuzione
\[ \phi \mapsto \int_{\mathbb{R}} f\phi \]
e questa definizione è consistente nel senso che se scegli $f$ o un'altra funzione $g$ uguale quasi ovunque a $f$ allora il risultato che ottieni è il medesimo per ogni $\phi$.
Nota: questo è un discorso abbastanza approssimativo che può essere reso formale e comprensibile. Ma non sono certo la "risorsa" indicata per farlo. Ci sono molti libri sull'argomento o anche utenti del forum ben più esperti di me.
Per il 4: sempre Taylor direi, vedi cosa succede...
$ L_{loc}^1 $ sta per funzioni localmente integrabili, giusto? Comunque, seguendo il tuo suggerimento mi trovo ad avere un dubbio su come sviluppare \(\displaystyle \varphi(1/n) \) ad esempio. Posso trattarlo come \[\displaystyle \varphi(x+h)=\varphi(x)+h\varphi'(x)+\frac{h^2}{2}\varphi''(x)+... \] con \(\displaystyle h=1/n \), \(\displaystyle x=0 \)? Facendo così, si avrebbe: \[\displaystyle \begin{cases}\varphi(0+1/n)=\varphi(0)+\frac{1}{n}\varphi'(0)+\frac{1}{2n^2}\varphi''(0)+... \\ \varphi(0-1/n)=\varphi(0)-\frac{1}{n}\varphi'(0)+\frac{1}{2n^2}\varphi''(0)+...\end{cases} \] quindi arrestandomi al primo ordine, \(\displaystyle \varphi(1/n)-\varphi(-1/n)\approx \frac{2}{n}\varphi'(0) \), e \[\displaystyle \lim_n n(\varphi(1/n)-\varphi(-1/n))=-2\langle\delta',\varphi\rangle. \] Possibile?
Si, si intende funzioni localmente integrabili.
Mi pare anche giusto oltre che possibile. Però manca un \(-\). La derivata della delta manda una funzione test nell'opposto della sua derivata calcolata in $0$.
Mi pare anche giusto oltre che possibile. Però manca un \(-\). La derivata della delta manda una funzione test nell'opposto della sua derivata calcolata in $0$.
Ok giusto, modificato. Per il quarto, in un intorno dell'origine al numeratore \(\displaystyle \varphi(x)-\varphi(0)\approx x\varphi'(0)\), quindi \[\displaystyle f\approx\frac{x\varphi'(0)}{|x|}=\operatorname{sgn}(x)\varphi'(0)\] il cui integrale è convergente. Ma questo basta a concludere l'esercizio?
Be’ no, così hai solo che la definizione è ben posta. Devi dimostrare che è lineare (immediato) e che è continuo. Se hai dubbi su come si fa, chiedi!
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