Esercizi formula integrale di Cauchy
Ciao a tutti,
Mi trovo in difficoltà con degli esercizi che chiedono di calcolare il valore di un'integrale lungo una curva.
L'esercizio chiede:
Se \(\displaystyle \gamma(t)=2+6e^{it}\), \(\displaystyle t \in [0;2\pi) \), allora \(\displaystyle \int \frac{z^2}{z+2} dz \) vale:
a) \( \displaystyle 8i\pi \)
b) \( \displaystyle 4i\pi \)
c) \( \displaystyle 2i\pi \)
d) \( \displaystyle -2i\pi \)
Applicando la formula integrale di Cauchy mi verrebbe da indicare la risposta c, ma quella corretta è la a, non riesco a capire dove sbaglio nel ragionare.
Grazie a tutti.
Mi trovo in difficoltà con degli esercizi che chiedono di calcolare il valore di un'integrale lungo una curva.
L'esercizio chiede:
Se \(\displaystyle \gamma(t)=2+6e^{it}\), \(\displaystyle t \in [0;2\pi) \), allora \(\displaystyle \int \frac{z^2}{z+2} dz \) vale:
a) \( \displaystyle 8i\pi \)
b) \( \displaystyle 4i\pi \)
c) \( \displaystyle 2i\pi \)
d) \( \displaystyle -2i\pi \)
Applicando la formula integrale di Cauchy mi verrebbe da indicare la risposta c, ma quella corretta è la a, non riesco a capire dove sbaglio nel ragionare.
Grazie a tutti.
Risposte
Vediamo che conti hai fatto nell'applicare la formula.
Dato che sono esercizi "veloci" ho pensato di usare la relazione \(\displaystyle Ind(z0)=\frac{1}{2j\pi}\int{\frac{f(z)}{(z-z0)} dz}\)
con Ind(z0) = indice di avvolgimento attorno a z0, perciò data la parametrizzazione ho pensato che l'indice valga 1 e che l'integrale valesse \(\displaystyle 1*2i\pi \), ma evidentemente il ragionamento che faccio è sbagliato.
con Ind(z0) = indice di avvolgimento attorno a z0, perciò data la parametrizzazione ho pensato che l'indice valga 1 e che l'integrale valesse \(\displaystyle 1*2i\pi \), ma evidentemente il ragionamento che faccio è sbagliato.
Certo che è sbagliato, che fine fa la funzione $f$? a sinistra dici di avere una quantità che dipende solo dalla curva mentre a destra hai anche $f$ sotto integrale. Stai mischiando due formule, una per l'indice e la formula integrale di Cauchy.
Ho capito che sto facendo confusione con due cose diverse, ma non riesco a capire che cosa dici riguardo alla funzione, quindi l'unico modo per risolvero è tramite il calcolo dell'integrale? Non esistono "metodi veloci" per evitarlo?
Ciao Xox,
Innanzitutto benvenuto sul forum!
Quella che hai scritto non è la formula integrale di Cauchy corretta, che invece è la seguente:
$f(z_0) = 1/(2\pi i)\int_{\gamma} f(z)/(z−z_0) \text{d}z \implies \int_{\gamma} f(z)/(z−z_0) \text{d}z = 2\pi i f(z_0) $
Chi sono $f(z) $ e $z_0$ nel caso dell'esercizio proposto?
Altrimenti l'altra formula è la seguente:
$ \text{Ind}_{\gamma}(z_0) \cdot f(z_0) = 1/(2\pi i)\int_{\gamma} f(z)/(z−z_0) \text{d}z $
Però quest'ultima a dire il vero neanche ti serve per l'esercizio proposto...
Innanzitutto benvenuto sul forum!
"Xox":
Dato che sono esercizi "veloci" ho pensato di usare la relazione $Ind(z0)=1/(2j\pi)\int f(z)/(z−z0) dz$
Quella che hai scritto non è la formula integrale di Cauchy corretta, che invece è la seguente:
$f(z_0) = 1/(2\pi i)\int_{\gamma} f(z)/(z−z_0) \text{d}z \implies \int_{\gamma} f(z)/(z−z_0) \text{d}z = 2\pi i f(z_0) $
Chi sono $f(z) $ e $z_0$ nel caso dell'esercizio proposto?
Altrimenti l'altra formula è la seguente:
$ \text{Ind}_{\gamma}(z_0) \cdot f(z_0) = 1/(2\pi i)\int_{\gamma} f(z)/(z−z_0) \text{d}z $
Però quest'ultima a dire il vero neanche ti serve per l'esercizio proposto...
Ciao grazie mille delle delucidazioni! Ora mi è più chiaro e ho capito, bastava solo usare la formula nella versione corretta!
Grazie
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