Equicontinuità e relativa compattezza

[mauri54]

Ciao a tutti,
avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio.
Es Si consideri il sottoinsieme $ A=\{f\in C^1([-1\text{,}1]):\ f\text{ convessa },\ f(0)=0,f(1)=f(-1)=1\} $ di $C([-1\text{,}1])$ (spazio di Banach dotato con la norma infinito).
Dire se è relativamente compatto.

Quello che ho provato a fare io è stato considerare l'insieme $A'=\{f_n : n\in\mathbb{Z}_{+}\}$ dove $f_n(x)=x^{2n}$.
Tali funzioni sono definite da $[-1,1]$ in $[0,1]$ che sono due compatti.
Quello che cercherei di dire ora è che se $A'$ fosse equicontinuo in $[-1,1]$ allora per Ascoli-Arzelà dalla successione degli elementi di $A'$ potrei estrarre un sottosuccessione uniformemente convergente ad una funzione continua. Ma tale funzione limite dovrebbe essere $ f(x)= { ( 0\quad se\ x\in[0,1) ),( 1\quad se\ x=1 ):} $ , ossia la stessa della convergenza puntuale che però è discontinua.
Quindi $A$ non può essere equicontinuo su $[-1,1]$.

Vi sembra corretto il ragionamento?

Vi metto anche come la mia prof ha enunciato i teoremi.

Ascoli Arzelà è stato enunciato nel modo seguente.
Dati X,Y due spazi metrici compatti, e $U\subset Y^X$ equicontinuo su X, allora ogni successione di elementi di $U$ ha un estratta uniformemente convergente ad una funzione continua da X in Y.

Un criterio di compattezza che si ricava grazie ad Ascoli-Arzelà dice che:
Dato $\Omega$ uno spazio metrico compatto, $U\subset C(\Omega)$ , allora $U$ è relativamente compatto in $C(U)$ se e solo se è limitato in $C(\Omega)$ ed equicontinuo in $\Omega$.

[dissonance]

Sei sicuro che lo spazio di Banach sia $C^1$? In tal caso, qual è la norma?

[mauri54]

"dissonance":Sei sicuro che lo spazio di Banach sia $C^1$? In tal caso, qual è la norma?

Perdonami lo spazio di banach è $ C\(\text{[-1,1]}) $ . Ho fatto un copia e incolla senza pensare.

[dissonance]

Allora va bene

[mauri54]

"dissonance":Allora va bene

Ti ringrazio!