Equazioni Differenziali del Secondo Ordine

[Miglio2025]

Salve

dovrei risolvere (∂u^2)/(∂r^2 )+B∙∂u/∂r∙1/r+C∙u/r^2 =0, dove B e C sono costanti.

Quale metodo dovrei usare?

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Miglio2025,

Benvenuto sul forum!

Innanzitutto riscrivo l'equazione proposta con le formule, così mi confermi anche se è corretta:

$(\del^2 u)/(\del r^2) + B/r \cdot (\del u)/(\del r) + C/r^2 \cdot u = 0 $

$(\del^2 u)/(\del r^2) + B/r \cdot (\del u)/(\del r) + C/r^2 \cdot u = 0 $

Hai qualche condizione al contorno?
Supponendo che sia $u = u(r, t) $, potresti cercare una soluzione del tipo $u(r, t) = f(r)\cdot g(t) $, anche se poi nell'equazione differenziale proposta non vedo comparire alcuna derivata rispetto a $t$...

[Miglio2025]

Ciao, grazie! La tua scrittura e' corretta.

Si ho condizioni al contorno ma la cosa che non riesco a fare e' che approccio avere per risolvere...

E' la soluzione di un problema fisico, dove r e' una coordinata e u un'altra (che devo rispovere indipendentemente da r)

[gugo82]

Equazione di Laplace in polari? Roba simile?

A quel punto sarebbe meglio sapere quale è il problema al contorno da risolvere.

[pilloeffe]

Supponendo una soluzione del tipo $u(r,t) = f(r)\cdot g(t) $ si ha:

$ (\del u)/(\del r) = g(t) \cdot (\del f)/(\del r) = g(t) ("d"f)/ ("d"r) $

$ (\del^2 u)/(\del r^2) = (\del)/(\del r)[ (\del u)/(\del r)] = (\del)/(\del r)[g(t) \cdot (\del f)/(\del r)] = g(t) \cdot (\del^2 f)/(\del r^2) = g(t) ("d"^2f)/ ("d"r^2) $

Sostituendo si ha:

$g(t) ("d"^2f)/ ("d"r^2) + B/r g(t) ("d"f)/ ("d"r) + C/r^2 f(r) g(t) = 0 $

Moltiplicando tutto per $r^2 $:

$g(t) \cdot [r^2 ("d"^2f)/ ("d"r^2) + Br ("d"f)/ ("d"r) + C f(r)] = 0 $

Imponendo nullo il fattore fra parentesi quadre si ottiene l'EDO (Equazione Differenziale Ordinaria) seguente:

$ r^2 ("d"^2f)/ ("d"r^2) + Br ("d"f)/ ("d"r) + C f(r) = 0 $

Si tratta di un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine di Eulero, che si può risolvere assumendo una soluzione proporzionale a $r^{\lambda} $ per qualche costante $\lambda $.
Sostituendo $f(r) = r^{\lambda} $ in quest'ultima EDO si ha:

$\lambda(\lambda - 1) r^{\lambda} + B\lambda r^{\lambda} + C r^{\lambda} = 0 $

$\lambda(\lambda - 1) + B\lambda + C = 0 $

$\lambda^2 + (B - 1)\lambda + C = 0 $

$\lambda_{1,2} = (1 - B \pm \sqrt{(B - 1)^2 - 4C})/2 = (1 - B \pm \sqrt{B^2 - 2B - 4C + 1})/2 $

Dunque la soluzione dell'EDO è del tipo seguente:

$f(r) = c_1 r^{(\sqrt{B^2 - 2B - 4C + 1} - B + 1)/2} + c_2 r^{(-\sqrt{B^2 - 2B - 4C + 1} - B + 1)/2} $