Equazioni alle differenze con la Trasformata Z
Buongiorno, stavo vedendo gli appunti di metodi matematici per ingegneria, e mi sono imbattuto in una equazione alle differenze da risolvere con Z-Trasformata. Stavo vedendo il secondo membro della equazione (ora riporto la scrittura)
$(3sqrt(2))^(n+1)sin(n\pi/4)$
Ora facendo la trasformata Z, porta praticamente questa operazione
$3sqrt(2) Z_u[(3sqrt(2))^nsin(n\pi/4)](z)$ -> $3sqrt(2) Z_u[sin(n\pi/4)](z/(3sqrt(2)))$
Già qui non mi trovo , perchè la trasformata di $(3sqrt(2))^n$, dovrebbe essere $z/(z-3sqrt(2))$ .
La trasformata, invece, di
$Z_u[sin(n\pi/4)](z)$ -> $1/sqrt(2)z/(z^2-sqrt(2)z+1)$
Il secondo dubbio è questo....come da questa
$Z_u[(3sqrt(2))^(n+1)sin(n\pi/4)]$
si arriva a questa
$(9sqrt(2)z)/(z^2-6z+18)$
La trasformata di quel prodotto è uguale al prodotto delle trasformate? Sul libro e sugli appunti non sta specificato, ma fa riferimento alla formula del riscalamento che sinceramente non sono riuscito a trovare da nessuna parte. Chiedo un aiuto per cortesia, please.
P.s. In alcune formule della trasformata noto una differenza, ovvero alcune volte sta scritto $Z$ altre volte $Z_u$, mi sapreste indicare la differenza?
$(3sqrt(2))^(n+1)sin(n\pi/4)$
Ora facendo la trasformata Z, porta praticamente questa operazione
$3sqrt(2) Z_u[(3sqrt(2))^nsin(n\pi/4)](z)$ -> $3sqrt(2) Z_u[sin(n\pi/4)](z/(3sqrt(2)))$
Già qui non mi trovo , perchè la trasformata di $(3sqrt(2))^n$, dovrebbe essere $z/(z-3sqrt(2))$ .
La trasformata, invece, di
$Z_u[sin(n\pi/4)](z)$ -> $1/sqrt(2)z/(z^2-sqrt(2)z+1)$
Il secondo dubbio è questo....come da questa
$Z_u[(3sqrt(2))^(n+1)sin(n\pi/4)]$
si arriva a questa
$(9sqrt(2)z)/(z^2-6z+18)$
La trasformata di quel prodotto è uguale al prodotto delle trasformate? Sul libro e sugli appunti non sta specificato, ma fa riferimento alla formula del riscalamento che sinceramente non sono riuscito a trovare da nessuna parte. Chiedo un aiuto per cortesia, please.
P.s. In alcune formule della trasformata noto una differenza, ovvero alcune volte sta scritto $Z$ altre volte $Z_u$, mi sapreste indicare la differenza?
Risposte
Ciao Dreams79,
Infatti è così...
Beh è corretta, perché si ha:
$ Z_u[(3\sqrt(2))^(n+1) sin(n \pi/4)] = 3\sqrt(2) \cdot Z_u[(3sqrt(2))^n sin(n\pi/4)] = 3\sqrt(2) \cdot \frac{3z}{z^2 - 6z + 18} = (9\sqrt(2)z)/(z^2-6z+18) $
Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
Beh, la trasformata $Z$ può essere anche bilatera, per cui spesso si scrive il pedice $u$ per specificare che è unilatera. Quando non ci sono ambiguità, si possono usare indifferentemente i due simboli $Z$ e $Z_u$.
"Dreams79":
Già qui non mi trovo, perchè la trasformata di $(3sqrt(2))^n$, dovrebbe essere $ z/(z-3sqrt(2)) $
Infatti è così...
"Dreams79":
Il secondo dubbio è questo....come da questa
$ Z_u[(3\sqrt(2))^(n+1) sin(n\pi/4)] $
si arriva a questa
$ (9sqrt(2)z)/(z^2-6z+18) $
Beh è corretta, perché si ha:
$ Z_u[(3\sqrt(2))^(n+1) sin(n \pi/4)] = 3\sqrt(2) \cdot Z_u[(3sqrt(2))^n sin(n\pi/4)] = 3\sqrt(2) \cdot \frac{3z}{z^2 - 6z + 18} = (9\sqrt(2)z)/(z^2-6z+18) $
"Dreams79":
Sul libro e sugli appunti non sta specificato, ma fa riferimento alla formula del riscalamento che sinceramente non sono riuscito a trovare da nessuna parte.
Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.
"Dreams79":
P.s. In alcune formule della trasformata noto una differenza, ovvero alcune volte sta scritto $Z$ altre volte $Z_u$, mi sapreste indicare la differenza?
Beh, la trasformata $Z$ può essere anche bilatera, per cui spesso si scrive il pedice $u$ per specificare che è unilatera. Quando non ci sono ambiguità, si possono usare indifferentemente i due simboli $Z$ e $Z_u$.
In primis ti ringrazio per la risposta, ma una cosa non mi è chiara (sappi che sto alle prime armi con questo argomento) la trasformata di
$Z_u[(3sqrt(2))^nsin(npi/4)]$
è uguale a
$(3z)/(z^2-6z+18)$
come esce questo risultato, si fà il prodotto delle due trasformate?...questa operazione non mi è del tutto chiara. Potresti,gentilmente,elencarmi più dettagli ??.. ti prego.
$Z_u[(3sqrt(2))^nsin(npi/4)]$
è uguale a
$(3z)/(z^2-6z+18)$
come esce questo risultato, si fà il prodotto delle due trasformate?...questa operazione non mi è del tutto chiara. Potresti,gentilmente,elencarmi più dettagli ??.. ti prego.
Risolto
"Dreams79":
Risolto
Bravo, sei stato più veloce di me che purtroppo ho avuto da fare...
Comunque:
"Dreams79":
La trasformata, invece, di
$ Z_u[sin(n\pi/4)](z) -> 1/sqrt(2)z/(z^2-sqrt(2)z+1) $
Nell'espressione dopo la freccia sostituisci $z/(3\sqrt2 $ al posto di $z$ e ottieni proprio $ \frac{3z}{z^2 - 6z + 18 $
In alternativa: riga 22 della tabella che puoi trovare qui con $a = 3\sqrt{2} $ e $\omega_0 = \pi/4 $
Grazie comunque, sei stato un grande.... 
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