Equazione differenziale con traformate di Laplace

[iii89-votailprof]

Buon pomeriggio a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio:

Si risolva per t>0, tramite le trasformate di Laplace, la seguente equazione

$ y'''(t)+y(t) = [2+sin(t)]*[delta(t)+delta'(t)]+chi [1,2](t) $

essendo $ chi[a,b](t) $ la funzione caratteristica relativa all'intervallo [a,b] e $ delta(t) $ la Delta di Dirac.

Per risolvere l'esercizio in questione, su suggerimento del prof, ho trasformato primo e secondo membro. Vorrei sapere se quello che ho fatto è giusto:

$ L(y(t))(s)= y(s) $
$ L(y'''(t))(s)= s^3*y(s) $

Il secondo membro, dopo la moltiplicazione, ed avendo trasformato la funzione caratteristica in termini di funzione di Heaveside, è:

$ 2*delta(t)+2*delta'(t)+sint *delta(t)+sint*delta'(t)+H(t-1)-H(t-2) $

La mia domanda adesso è, sono giuste le trasformate di Laplace che vi posto sotto? Se no, quali sono quelle corrette e perchè?

$ L (2*delta(t))=2 $
$ L (2*delta'(t))=2s $
$ L (sint*delta(t))= 0 $
$ L (sint*delta'(t))= -1 $
$ L [H(t-1)]= (e^-s)/s $
$ L [H(t-2)]= (e^(-2s))/s $

Spero di aver scritto le equazioni in maniera comprensibile, ringrazio anticipatamente ed infinitamente chi mi darà una mano

[Berationalgetreal]

Fai lo stesso errore su tutte:

\[ \mathcal {L} \left [ f^{(n)} \right ] (s) = s^n \tilde f (s) - s^{n-1} f (0) - s^{n-2} f' (0) - \dots - f^{(n-1)} (0) \]

In questo modo, vengono imposte le condizioni iniziali del problema di Cauchy. Poi, se il vettore condizioni iniziali è il vettore nullo allora valgono le relazioni che hai usato tu per le derivate, ma in generale no.