Equazione di FrendHolm di seconda specie

[mklplo751]

Salve,se non vi dispiace potreste spiegarmi come si risolve un'equazione di Frendholm di seconda specie?
Come questa ad esempio:
$ y(x)=x+int_(a)^(b)(x+t)y(t)dt $
p.s:ho cercato su internet ma non ho trovato metodi da usare se la funzione vine integrata su un dominio generico,ho trovato metodi solo per intervalli da "a" ad il valore a "x"

[gugo82]

Beh, prova a scrivere meglio il secondo membro; poi cerca di capire la soluzione che forma ha e trovarla.

[mklplo751]

In che senso provare a scrivere meglio il secondo membro?
(Forse è questo il problema di essere un autodidatta,alcune cose non si capiscono)

[gugo82]

Beh, scusa, hai:
\[
\intop_a^b (x+t)\ y(t)\ \text{d} t = \intop_a^b x\ y(t)\ \text{d} t +\intop_a^b t\ y(t)\ \text{d} t
\]
quindi...

[mklplo751]

ah... intendevi di separare le variabili,non avevo capito a cosa alludevi,grazie.
però il problema è che non ho capito il metodo risolutivo delle equazioni di FrendHolm

[gugo82]

Metodi risolutivi generali esistono, ma risultano scarsamente utili nei casi in cui si voglia ottenere una soluzione esplicita con un po' di calcoli.
Quindi nei casi concreti si procede caso per caso, cercando di usare l'equazione integrale:

[*:3qcfioq6] o per "indovinare" la forma della soluzione e quindi per calcolarla esplicitamente,

[/*:m:3qcfioq6]
[*:3qcfioq6] oppure per ridurre il problema ad una EDO con condizioni (iniziali o di altro tipo) e quindi calcolare la soluzione esplicitamente se è possibile.[/*:m:3qcfioq6][/list:u:3qcfioq6]

Il caso in esame è tipico della prima alternativa.
Infatti, la EI si riscrive:
\[
y(x) =\left( 1+\int_a^b y(t)\ \text{d} t \right)\ x + \int_a^b t\ y(t)\ \text{d} t\; ;
\]
dato che $y$ è sommabile, gli integrali al secondo membro esistono finiti e, posto:
\[
\begin{split}
I &= \int_a^b y(t)\ \text{d} t\\
J &= \int_a^b t\ y(t)\ \text{d} t\; ,
\end{split}
\]
dalla EI trai subito che la soluzione è nella forma:
\[
y(x) =(1+I)\ x + J\; ,
\]
cioè che $y$ è un polinomio di grado $\leq 1$.
Detto ciò è molto semplice determinare $y$: infatti, imponendo che il polinomio $y(x) = (1+I) x + J$ soddisfi l'EI si ottiene l'uguaglianza:
\[
\begin{split}
(1+I)\ x + J &= y(x) \\
&= \left( 1+\int_a^b y(t)\ \text{d} t\right) x + \int_a^b t\ y(t)\ \text{d} t\\
&= \left( 1 + \int_a^b \left[ (1+I) t + J \right]\ \text{d} t\right) x + \int_a^b t\ \left[ (1+I) t + J \right]\ \text{d} t
&= \left( 1 + (1+I) \frac{b^2-a^2}{2} + J(b-a) \right) x + (1+I) \frac{b^3-a^3}{3} + J \frac{b^2-a^2}{2}
\end{split}
\]
da cui si trae il sistema lineare nelle incognite $(1+I)$ e $J$:
\[
\begin{cases}
(1+I) = 1 + (1+I) \frac{b^2-a^2}{2} + J(b-a)\\
J = (1+I) \frac{b^3-a^3}{3} + J \frac{b^2-a^2}{2}
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases}
(1+I) (\frac{b^2-a^2}{2}-1) + J(b-a) = -1\\
(1+I) \frac{b^3-a^3}{3} + J (\frac{b^2-a^2}{2}-1) =0
\end{cases}
\]
che ha unica soluzione e si risolve con tecniche elementari.

Trovata la soluzione del sistema, diciamola $(1+\tilde{I}), \tilde{J}$, la soluzione dell'EI è:
\[
y(x) = (1+\tilde{I}) x + \tilde{J}\; .
\]

[mklplo751]

Grazie,per aver risposto,
ho fatto i conti e trovo,per $a=0$ e $b=1$ :
$ J=-1/9 $
$ 1+I=-1/6 $
$ y(x)=(1+I)x+J=-1/6x-1/9 $

tuttavia,il libro porta come soluzioni su questo intervallo:
$ y(x)=-6x-4$

[mklplo751]

Secondo te dove ho sbagliato?
ps:cosa indica $ "~" $ che hai messo sopra $I$ e $J$?

[gugo82]

"mklplo":Grazie,per aver risposto,
ho fatto i conti e trovo,per $a=0$ e $b=1$ :
$ J=-1/9 $
$ 1+I=-1/6 $
$ y(x)=(1+I)x+J=-1/6x-1/9 $

tuttavia,il libro porta come soluzioni su questo intervallo:
$ y(x)=-6x-4$

Prova a fare una verifica della soluzione proposta, quando non ti trovi... Insomma, sostituisci $y(x)=-6x-4$ nella EI e vedi se torna.

Le lettere tildate denotano semplicemente le coordinate della soluzione del sistema.

[mklplo751]

Ho trovato l'errore,senza che me ne accorgessi non ho integrato sul dominio[0,1].
Grazie per le tue risposte.