Equazione complessa

[Alfiere90]

Buongiorno, ho grossissimi problemi con questa equazione complessa :

$(Re(j*sen(z)*cos(z)))/(cosh(2Im(z))) +3/4 + e^(2z)/(|e^(2z)|) = 0$

Inizio col porre $Arg(e^z)=theta$

$sen(z)*cos(z) = sen(2z) = (e^(2iz)-e^(-2iz))/(2i) => Re((e^(2iz)-e^(-2iz))/(2))$ e già qui non so che fare per trovare questa benedetta parte reale...

$cosh(2theta) = (e^(2theta)+e^(-2theta))/2$

mentre $e^(2z) = e^(2Re(z))*e^(2i(Im(z))$ e $|e^(2z)| =e^(2Re(z)$ quindi il loro rapporto è $e^(2itheta)$
Arrivato qui sono completamente spaesato... non so più che fare e probabilmente avrò anche sbagliato qualcosa in precedenza ma non so cosa..mi serve una grande mano

[pilloeffe]

Ciao Alfiere90,

Ora non ho tanto tempo, ma qualche indicazione te la posso dare...
Innanzitutto si ha:

$ sin(z) cos(z) = 1/2 sin(2z) $

per cui alla fine dovresti avere $ Re((e^(2iz)-e^(-2iz))/(4)) $
Sostituisci al posto di $z = x + iy $
Poi per un numero complesso $z $ si ha:

$ z = x + iy = Re(z) + i Im(z) = \rho e^{i\theta} $

Quindi semplicemente si ha $Im(z) = y \implies \cosh(2y) $. Invece $ \theta = Arg(z) = arctan(y/x) $
Poi si ha:

$ e^(2z)/(|e^(2z)|) = e^{2i Im(z)} = e^{2iy} $

Non che con tutto quanto sopra l'equazione diventi semplicissima, però...

[Alfiere90]

Bene allora, ho aggiustato un pò le cose e dovrei avere :

$Re( (e^(2i(x+iy))-e^(-2i(x+iy)))/4) = Re( (e^(2ix-2y)-e^(2y-2ix))/4) = Re( (e^(2ix))/(4(e^(2y))) - e^(2y)/(4(e^(2ix))))$.

Prendendo solo la parte reale dovrei avere $1/4(1/e^(2y)-e^(2y))$ che corrisponde a $-1/2(senh(2y))$.

Dunque ho $-1/2(senh(2y)) /(cosh(2y)) =>-1/2tanh(2y)$.

L'equazione diventa dunque $-1/2tanh(2y)+3/4 + e^(2iy)=0$ che potrebbe diventare un
$-2tanh(2y)+3+4e^(2iy)=0$. Se è giusta( ne dubito), come si deve concludere?