\( e^f + e^g \) infiniti zeri.
Siano \(f,g : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) olomorfe. Dimostra che \( h = e^f + e^g \) non possiede zeri oppure infiniti zeri in \( \mathbb{C} \).
Io ho pensato di fare così, funziona secondo voi?
Se \(f,g \) sono entrambe costanti allora chiaramente \(h\) non possiede zeri. Supponiamo senza perdita di generalità che \(g\) non è costante allora siccome \(e^f \) e \(e^{-f} \) non si annulla abbiamo che il numero di zeri di \(h \) è uguale al numero di zeri di
\[ h e^{-f} = 1 + e^{g-f} \]
in particolare abbiamo che \(h = 0 \) se e solo se \( e^{g-f} = - 1 \). Ora abbiamo che \(e^{z} = -1 \) se e solo se \( z = i \pi n \) con \(n \in \mathbb{Z} \). Siccome \(g-f \) è intera e non costante abbiamo per il piccolo teorema di Picard che \(g -f \) prende tutti i valori del piano complesso tranne al più uno soltanto. Dunque per ogni \(n \in \mathbb{Z} \), tranne al massimo uno, esiste \( z_n \in \mathbb{C}\) tale che \((g-f)(z_n) = \pi i n \) dunque abbiamo che \( h \) possiede infiniti zeri.
Io ho pensato di fare così, funziona secondo voi?
Se \(f,g \) sono entrambe costanti allora chiaramente \(h\) non possiede zeri. Supponiamo senza perdita di generalità che \(g\) non è costante allora siccome \(e^f \) e \(e^{-f} \) non si annulla abbiamo che il numero di zeri di \(h \) è uguale al numero di zeri di
\[ h e^{-f} = 1 + e^{g-f} \]
in particolare abbiamo che \(h = 0 \) se e solo se \( e^{g-f} = - 1 \). Ora abbiamo che \(e^{z} = -1 \) se e solo se \( z = i \pi n \) con \(n \in \mathbb{Z} \). Siccome \(g-f \) è intera e non costante abbiamo per il piccolo teorema di Picard che \(g -f \) prende tutti i valori del piano complesso tranne al più uno soltanto. Dunque per ogni \(n \in \mathbb{Z} \), tranne al massimo uno, esiste \( z_n \in \mathbb{C}\) tale che \((g-f)(z_n) = \pi i n \) dunque abbiamo che \( h \) possiede infiniti zeri.
Risposte
Mi sensato.
Grazie
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