Due domande sugli spazi normati

[anto_zoolander]

Ciao!

1) Dati $X,Y$ due $k$ spazi vettoriali e sia $T:X->Y$ un operatore lineare continuo, ho mostrato che se la composizione $T^n$ converge in norma operatoriale a $0$ il suo raggio spettrale deve essere $leq1$

basta considerare che se $(lambda, x)$ è una coppia autovalore/autovettore

$abs(lambda)^(n) norm(x)=norm(T^n x)leqnorm(T^n)norm(x)->0 => abs(lambda)<1$

essendo $xne0$

mi chiedevo se, senza specificare la dimensione dello spazio vettoriale e magari aggiungendo qualche ipotesi(tipo l'essere di Banach) fosse possibile dimostrare anche il viceversa.

2) Perché quando si parla della differenziabilità di funzioni tra spazi normati molto spesso si suppone che essi siano spazi di Banach?

[dissonance]

1) Devi richiedere \(\rho(T)<1\), con il minore stretto, per avere il viceversa, altrimenti è falso. Qui \(\rho(T)\) è il raggio spettrale. Se \(\rho(T)<1\), il fatto che \(T^n\to 0\) discende dalla formula di Gelfan'd: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_ ... _operators

2) Perché tutta l'analisi fa schifo sugli spazi non completi. Tutti i teoremi non banali di analisi funzionale richiedono la completezza.

[anto_zoolander]

Semplice e conciso grazie!