Dubbio Th.Serie di Fourier: Non bastava un Riemman?
Ciao a tutti! 
Questo è il mio primissimo messaggio su questo forum, quindi chiedo scusa in anticipo per errori ed inesattezze sia riguardo il contenuto che la forma!
Detto questo, iniziamo a percorrere velocemente gli appunti del mio professore, fino ad arrivare al passaggio incriminato:
Tesi:
data una funzione g(t) continua a tratti, soddisfacente il lemma di Dini, e periodica 2π, per cui valga:
$ g(t) = 1/2 (g(t+) + g(t-) $,
allora possiamo scrivere
(1) $ Sn(t) = (a_0)/2 + sum_{k=1}^N a_kcos(kt) + b_ksin(kt) $ , Sn = g(t) per N che tende a infinito.
con
$ a_k = 1/π * \int_-π^π g(τ)cosk(τ)\ \text{d}τ $
$ b_k = 1/π * \int_-π^π g(τ)sink(τ)\ \text{d}τ $
Dopodichè inizia a ricavare $ a_k, b_k, a_0 $ e li sostiuisce nella formula (1),
raccoglie, usa coskτcoskt + sinkτsinkt = cosk(τ-t) e fa un cambio di variabile introducendo y=τ-t.
A questo punto, spezzando l'integrale, abbiamo:
$ Sn = 1/π * \int_-π^0 g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky \ \text{d}y + 1/π * \int_0^π g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky) \ \text{d}y $
Dato che vogliamo verificare che g(t) = Sn(t) per N che tende a infinito, avremo Sn(t) - g(t) = 0, e cioè:
(2) $ Sn - g(t) = 1/π * \int_-π^0 g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky) \ \text{d}y -1/2 g(t-) + 1/π * \int_0^π g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky \ \text{d}y -1/2g(t+) = 0 $
A questo punto isola
(3) $ 1/π * \int_0^π g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky) \ \text{d}y -1/2g(t+) = 0 $
e la dimostra; probabilmente la dimostrazione per la restante parte dell'equazione (2) è analoga, e quindi la omette.
Tornando all'equazione (3), dopo alcuni passaggi, utilizzando l'identità trgnmetrica di Lagrange, arriva a:
(4) $ 1/π * \int_0^π [g(t+y) - g(t+)] * sin((n+1/2)y)/(2sin(y/2)) = 0 $
Il mio prof. invece, per qualche motivo che spero di scoprire, spezza ulteriormente l'integrale in:
$ 1/π * \int_0^δ [g(t+y) - g(t+)] sin((n+1/2)y)/(2sin(y/2)) + 1/π * \int_δ^π [g(t+y) - g(t+)] sin((n+1/2)y)/(2sin(y/2)) = 0 $
In seguito maggiora i moduli del primo integrale e dimostra che può essere piccolo a piacere, poi applica Riemman sul secondo facendolo tendere a zero, e ha così dimostrato che l'equazione (3) è vera, e, di conseguenza, ammesso che si dimostri analogamente, anche l'equazione (2) lo è.
Il mio vero dubbio riguarda l'ultimo passaggio (quello in cui spezza l'integrale ulteriormente) che ritengo superfluo, dato che penso (magari erroneamente) che si possa dimostrare il tendere a zero di (4) direttamente usando il Lemma di Riemman su tutto l'intervallo (0, π).
Insomma, qualcuno può spiegarmi il motivo di quest'ultimo passaggio?
Grazie a tutti quelli che saranno arrivati fin qui a leggere!
PS: ho omesso molti passaggi algebrici dandoli per scontati, se fosse utile o necessario posso scriverli tutti
Questo è il mio primissimo messaggio su questo forum, quindi chiedo scusa in anticipo per errori ed inesattezze sia riguardo il contenuto che la forma!
Detto questo, iniziamo a percorrere velocemente gli appunti del mio professore, fino ad arrivare al passaggio incriminato:
Tesi:
data una funzione g(t) continua a tratti, soddisfacente il lemma di Dini, e periodica 2π, per cui valga:
$ g(t) = 1/2 (g(t+) + g(t-) $,
allora possiamo scrivere
(1) $ Sn(t) = (a_0)/2 + sum_{k=1}^N a_kcos(kt) + b_ksin(kt) $ , Sn = g(t) per N che tende a infinito.
con
$ a_k = 1/π * \int_-π^π g(τ)cosk(τ)\ \text{d}τ $
$ b_k = 1/π * \int_-π^π g(τ)sink(τ)\ \text{d}τ $
Dopodichè inizia a ricavare $ a_k, b_k, a_0 $ e li sostiuisce nella formula (1),
raccoglie, usa coskτcoskt + sinkτsinkt = cosk(τ-t) e fa un cambio di variabile introducendo y=τ-t.
A questo punto, spezzando l'integrale, abbiamo:
$ Sn = 1/π * \int_-π^0 g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky \ \text{d}y + 1/π * \int_0^π g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky) \ \text{d}y $
Dato che vogliamo verificare che g(t) = Sn(t) per N che tende a infinito, avremo Sn(t) - g(t) = 0, e cioè:
(2) $ Sn - g(t) = 1/π * \int_-π^0 g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky) \ \text{d}y -1/2 g(t-) + 1/π * \int_0^π g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky \ \text{d}y -1/2g(t+) = 0 $
A questo punto isola
(3) $ 1/π * \int_0^π g(t+y)(1/2 + sum_{k=1}^N cosky) \ \text{d}y -1/2g(t+) = 0 $
e la dimostra; probabilmente la dimostrazione per la restante parte dell'equazione (2) è analoga, e quindi la omette.
Tornando all'equazione (3), dopo alcuni passaggi, utilizzando l'identità trgnmetrica di Lagrange, arriva a:
(4) $ 1/π * \int_0^π [g(t+y) - g(t+)] * sin((n+1/2)y)/(2sin(y/2)) = 0 $
Il mio prof. invece, per qualche motivo che spero di scoprire, spezza ulteriormente l'integrale in:
$ 1/π * \int_0^δ [g(t+y) - g(t+)] sin((n+1/2)y)/(2sin(y/2)) + 1/π * \int_δ^π [g(t+y) - g(t+)] sin((n+1/2)y)/(2sin(y/2)) = 0 $
In seguito maggiora i moduli del primo integrale e dimostra che può essere piccolo a piacere, poi applica Riemman sul secondo facendolo tendere a zero, e ha così dimostrato che l'equazione (3) è vera, e, di conseguenza, ammesso che si dimostri analogamente, anche l'equazione (2) lo è.
Il mio vero dubbio riguarda l'ultimo passaggio (quello in cui spezza l'integrale ulteriormente) che ritengo superfluo, dato che penso (magari erroneamente) che si possa dimostrare il tendere a zero di (4) direttamente usando il Lemma di Riemman su tutto l'intervallo (0, π).
Insomma, qualcuno può spiegarmi il motivo di quest'ultimo passaggio?
Grazie a tutti quelli che saranno arrivati fin qui a leggere!
PS: ho omesso molti passaggi algebrici dandoli per scontati, se fosse utile o necessario posso scriverli tutti
Risposte
Mi rispondo da solo, ho avuto l'illuminazione sta mattina:
svolgendo la formula (4) usando il lemma di Riemann, vengono fuori zeri al denominatore.
Per questo occorre spezzare l'integrale, valutarne il modulo tra 0 e delta e farlo tendere a zero.
Usando Riemann sul secondo integrale (quello da delta a pigreco) non si incappa nello spiacevole inconveniente dello zero al denominatore!
svolgendo la formula (4) usando il lemma di Riemann, vengono fuori zeri al denominatore.
Per questo occorre spezzare l'integrale, valutarne il modulo tra 0 e delta e farlo tendere a zero.
Usando Riemann sul secondo integrale (quello da delta a pigreco) non si incappa nello spiacevole inconveniente dello zero al denominatore!
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