Dubbio teorema di Cauchy
Salve a tutti, studiando il teorema di Cauchy (analisi complessa), tra le ipotesi del teorema ho trova la seguente:
$f:Omega->C$ regolare a tratti $gamma$
Non riesco a spiegarmi cosa significhi che f sia " regolare a tratti $gamma$ " , qualcuno potrebbe darmi una definizione o comunque una spiegazione pratica ? Grazie a tutti
P.s. in maniera intuitiva ho pensato ad una funzione che è $regolare $ nei tratti $gamma$ in cui è suddivisa. Quindi in ogni intervallo $gamma$ la funzione risulta :
- limitata
- la frontiera del "tratto" ha misura nulla
Scusate l'informalità...
$f:Omega->C$ regolare a tratti $gamma$
Non riesco a spiegarmi cosa significhi che f sia " regolare a tratti $gamma$ " , qualcuno potrebbe darmi una definizione o comunque una spiegazione pratica ? Grazie a tutti
P.s. in maniera intuitiva ho pensato ad una funzione che è $regolare $ nei tratti $gamma$ in cui è suddivisa. Quindi in ogni intervallo $gamma$ la funzione risulta :
- limitata
- la frontiera del "tratto" ha misura nulla
Scusate l'informalità...
Risposte
Ti do la definizione.
Una curva $\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}$ si dice regolare a tratti in $[a,b]$ se esiste una partizione $x_0=a
Insomma la restrizione di $\gamma$ a uno qualsiasi dei sottointervalli $[x_{i-1},x_i]$ da una curva ivi regolare.
Nota che questo comporta che nei punti $x_i$ di "giunzione" la derivata prima della curva può benissimo assumere due valori distinti da destra e da sinistra, cioè:
\[(\gamma|_{[x_{i-1},x_i]})'(x_i) \ne (\gamma|_{[x_i,x_{i+1}]})'(x_i)\]
e quindi non esistere, come può anche esistere invece, cioè:
\[(\gamma|_{[x_{i-1},x_i]})'(x_i)=(\gamma|_{[x_i,x_{i+1}]})'(x_i)\]
Pensa a una poligonale, che mi pare l'esempio di curva regolare a tratti più immediato.
Una curva $\gamma:[a,b] \to \mathbb{C}$ si dice regolare a tratti in $[a,b]$ se esiste una partizione $x_0=a
Insomma la restrizione di $\gamma$ a uno qualsiasi dei sottointervalli $[x_{i-1},x_i]$ da una curva ivi regolare.
Nota che questo comporta che nei punti $x_i$ di "giunzione" la derivata prima della curva può benissimo assumere due valori distinti da destra e da sinistra, cioè:
\[(\gamma|_{[x_{i-1},x_i]})'(x_i) \ne (\gamma|_{[x_i,x_{i+1}]})'(x_i)\]
e quindi non esistere, come può anche esistere invece, cioè:
\[(\gamma|_{[x_{i-1},x_i]})'(x_i)=(\gamma|_{[x_i,x_{i+1}]})'(x_i)\]
Pensa a una poligonale, che mi pare l'esempio di curva regolare a tratti più immediato.
Ah ma forse tu intendevi cosa significhi che $f$ sia regolare a tratti su $\gamma$.
In questo caso, $f$ è regolare a tratti su $\gamma$ se $f$ risulta regolare (presumo si intenda che $f$ sia di classe $C^1$) su tutto il sostegno \[\gamma([a,b])\] tranne che in un numero finito di suoi punti.
In realtà sarebbe sufficiente supporre che $f$ sia continua a tratti sul sostegno della curva, ma la dimostrazione diviene più complicata (beninteso che $f$ deve essere olomorfa internamente alla curva, se questa è semplice)
In questo caso, $f$ è regolare a tratti su $\gamma$ se $f$ risulta regolare (presumo si intenda che $f$ sia di classe $C^1$) su tutto il sostegno \[\gamma([a,b])\] tranne che in un numero finito di suoi punti.
In realtà sarebbe sufficiente supporre che $f$ sia continua a tratti sul sostegno della curva, ma la dimostrazione diviene più complicata (beninteso che $f$ deve essere olomorfa internamente alla curva, se questa è semplice)
[xdom="gugo82"]I quesiti di Analisi Complessa vanno in Analisi Superiore.
@ Salvy: Questo è l'ultimo thread che sposto.
I prossimi piazzati in sezione sbagliata verranno chiusi.[/xdom]
@ Salvy: Questo è l'ultimo thread che sposto.
I prossimi piazzati in sezione sbagliata verranno chiusi.[/xdom]
"Leonardo97":
Ah ma forse tu intendevi cosa significhi che $f$ sia regolare a tratti su $\gamma$.
In questo caso, $f$ è regolare a tratti su $\gamma$ se $f$ risulta regolare (presumo si intenda che $f$ sia di classe $C^1$) su tutto il sostegno \[\gamma([a,b])\] tranne che in un numero finito di suoi punti.
In realtà sarebbe sufficiente supporre che $f$ sia continua a tratti sul sostegno della curva, ma la dimostrazione diviene più complicata (beninteso che $f$ deve essere olomorfa internamente alla curva, se questa è semplice)
Non saprei, è scritta (negli appunti) in maniera un po' ambigua :
"sia $f:Omega->C$ olomorfa (regolare a tratti)" ,
non capisco come lo debba intendere
Continua il teorema (magari può aiutarti a capire l'ipotesi): "che si contrae ad un punto $z in Omega$ "dentro $gamma$, allora $f(z)=1/(2pii)int_gamma f(w)/(w-z)$
"gugo82":
[xdom="gugo82"]I quesiti di Analisi Complessa vanno in Analisi Superiore.
@ Salvy: Questo è l'ultimo thread che sposto.
I prossimi piazzati in sezione sbagliata verranno chiusi.[/xdom]
Chiedo venia
Allora, facciamo chiarezza.
Teorema di Cauchy-Goursat (anche detto teorema integrale di Cauchy):
Sia $f:A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ olomorfa in $A$ insieme aperto e semplicemente connesso.
Sia $\gamma: [a,b] \to A$ una curva chiusa regolare a tratti in $[a,b]$ e con sostegno in $A$.
Allora:
\[\int_{\gamma} f(z)\,\text{d}z=0\]
Ora, $A$ è semplicemente connesso se, intuitivamente parlando, ogni curva chiusa con sostegno in $A$ può essere deformata con continuità a un punto di $A$ senza mai uscire da $A$ (cioè, se si ragione nel piano, come ora stiamo facendo, ciò equivale a dire che $A$ non ha buchi).
Una caratterizzazione equivalente valida in $\mathbb{C}$ (ma non altrove, ad esempio nello spazio) della semplice connessione è la seguente: $A$ è semplicemente connesso se, per ogni curva chiusa semplice contenuta in $A$, la parte di piano racchiusa da tale curva è totalmente contenuta in $A$.
Il teorema di Cauchy-Goursat è suscettibile di ulteriore raffinamento, cioè se ne possono indebolire le ipotesi.
Ad esempio si può supporre semplicemente che $\gamma$ sia solo rettificabile, anziché regolare a tratti.
Un'altra cosa è che il teorema continua a valere se $f$ è olomorfa solo nella parte di piano racchiusa nella curva $\gamma$ e continua su $\gamma$. Inutile dire che la dimostrazione diventa parecchio più complicata in questi casi.
Un'ulteriore generalizzazione del teorema coinvolge i domini molteplicemente connessi (cioè non semplicemente connessi).
Ti consiglio il seguente link: http://www.maths.usyd.edu.au/u/olver/te ... cauchy.pdf
Infine, dal teorema integrale di Cauchy segue la formula integrale di Cauchy.
Teorema di Cauchy-Goursat (anche detto teorema integrale di Cauchy):
Sia $f:A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ olomorfa in $A$ insieme aperto e semplicemente connesso.
Sia $\gamma: [a,b] \to A$ una curva chiusa regolare a tratti in $[a,b]$ e con sostegno in $A$.
Allora:
\[\int_{\gamma} f(z)\,\text{d}z=0\]
Ora, $A$ è semplicemente connesso se, intuitivamente parlando, ogni curva chiusa con sostegno in $A$ può essere deformata con continuità a un punto di $A$ senza mai uscire da $A$ (cioè, se si ragione nel piano, come ora stiamo facendo, ciò equivale a dire che $A$ non ha buchi).
Una caratterizzazione equivalente valida in $\mathbb{C}$ (ma non altrove, ad esempio nello spazio) della semplice connessione è la seguente: $A$ è semplicemente connesso se, per ogni curva chiusa semplice contenuta in $A$, la parte di piano racchiusa da tale curva è totalmente contenuta in $A$.
Il teorema di Cauchy-Goursat è suscettibile di ulteriore raffinamento, cioè se ne possono indebolire le ipotesi.
Ad esempio si può supporre semplicemente che $\gamma$ sia solo rettificabile, anziché regolare a tratti.
Un'altra cosa è che il teorema continua a valere se $f$ è olomorfa solo nella parte di piano racchiusa nella curva $\gamma$ e continua su $\gamma$. Inutile dire che la dimostrazione diventa parecchio più complicata in questi casi.
Un'ulteriore generalizzazione del teorema coinvolge i domini molteplicemente connessi (cioè non semplicemente connessi).
Ti consiglio il seguente link: http://www.maths.usyd.edu.au/u/olver/te ... cauchy.pdf
Infine, dal teorema integrale di Cauchy segue la formula integrale di Cauchy.
Aggiungo che la formula integrale di Cauchy fa uso del principio di deformazione dei cammini, che discende direttamente dal teorema integrale di Cauchy, e che di seguito ti enuncio:
Sia $f:A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ olomorfa in $A$ aperto (ma in generale non semplicemente connesso).
Siano $\gamma: [a,b] \to A$, $\psi: [c,d] \to A$ due curve semplici chiuse regolari a tratti contenute in $A$ e tali che $\psi$ giaccia propriamente nella parte di piano racchiusa da $\gamma$.
Supponiamo poi che la regione di piano compresa tra le due curve sia tutta contenuta in $A$.
Allora $\int_{\gamma} f(z)\text{d}z=\int_{\psi} f(z)\text{d}z$.
Fra l'altro tale principio si usa anche per la serie di Laurent.
Sia $f:A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ olomorfa in $A$ aperto (ma in generale non semplicemente connesso).
Siano $\gamma: [a,b] \to A$, $\psi: [c,d] \to A$ due curve semplici chiuse regolari a tratti contenute in $A$ e tali che $\psi$ giaccia propriamente nella parte di piano racchiusa da $\gamma$.
Supponiamo poi che la regione di piano compresa tra le due curve sia tutta contenuta in $A$.
Allora $\int_{\gamma} f(z)\text{d}z=\int_{\psi} f(z)\text{d}z$.
Fra l'altro tale principio si usa anche per la serie di Laurent.
"Leonardo97":
Aggiungo che la formula integrale di Cauchy fa uso del principio di deformazione dei cammini, che discende direttamente dal teorema integrale di Cauchy, e che di seguito ti enuncio:
Sia $f:A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ olomorfa in $A$ aperto (ma in generale non semplicemente connesso).
Siano $\gamma: [a,b] \to A$, $\psi: [c,d] \to A$ due curve semplici chiuse regolari a tratti contenute in $A$ e tali che $\psi$ giaccia propriamente nella parte di piano racchiusa da $\gamma$.
Supponiamo poi che la regione di piano compresa tra le due curve sia tutta contenuta in $A$.
Allora $\int_{\gamma} f(z)\text{d}z=\int_{\psi} f(z)\text{d}z$.
Fra l'altro tale principio si usa anche per la serie di Laurent.
Si, quindi nel caso della serie di Laurent, la nostra $gamma "regolare a tratti"$ sarebbe il bordo della corona circolare più i segmenti che uniscono i due dischi giusto?
"Salvy":
Si, quindi nel caso della serie di Laurent, la nostra $gamma "regolare a tratti"$ sarebbe il bordo della corona circolare più i segmenti che uniscono i due dischi giusto?
Detta cosi può voler dire tutto e niente. La "nostra"? Di chi?
Diciamo che le due circonferenze concentriche che delimitano la corona circolare sono le due curve a cui si può applicare il principio di deformazione dei cammini.
"Leonardo97":
[quote="Salvy"]Si, quindi nel caso della serie di Laurent, la nostra $gamma "regolare a tratti"$ sarebbe il bordo della corona circolare più i segmenti che uniscono i due dischi giusto?
Detta cosi può voler dire tutto e niente. La "nostra"? Di chi?
Diciamo che le due circonferenze concentriche che delimitano la corona circolare sono le due curve a cui si può applicare il principio di deformazione dei cammini.[/quote]
sisi intendevo questo , dunque in quel caso $gamma$= $gamma_1+ gamma_2 + gamma_3 + gamma_4 $.
Quest'ultimi sono per l'appunto il bordo della corona circolare più i segmenti che uniscono i due dischi
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