Dubbio sulla definizione di integrale di Lebesgue

[Silente]

Pensavo di aver capito delle cose studiando ma sto facendo diverse regressioni
Sto studiando la definizione di integrale di Lebesgue dal libro Probability di Shiryaev, il quale utilizza come definizione di misurabilità la seguente:

una funzione \(\displaystyle f:\Omega\to \mathbb{R} \) definita nello spazio misurabile \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mu) \) è \(\displaystyle \mathcal{F} \)-misurabile se l'anti-immagine di ogni boreliano è un elemento della \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{F} \).

Detto questo, lui comincia definendo l'integrale di Lebesgue per funzioni misurabili a valori positivi in questo modo:

\(\displaystyle (L)\int_\Omega f d\mu := \lim _{n\to\infty} \sum_{k} y_k \mu\{f_n^{-1}(y_k)\}
\)
dove \(\displaystyle f_1,...,f_n,... \) è una successione di funzioni semplici (significa che le immagini \(\displaystyle y_1,...,y_k,...,y_{N(n)} \) di \(\displaystyle f_n \) formano un insieme finito) che converge puntualmente a \(\displaystyle f \).

La prima domanda che mi viene spontanea è: a che mi serve supporre \(\displaystyle f \) misurabile? Dico una sciocchezza se affermo che \(\displaystyle f \) è intrinsecamente misurabile in quanto essa è il limite di funzioni semplici che (ovviamente) lo sono?

[otta96]

"Silent":(ovviamente)

?

[Silente]

Scusami, hai ragione. Intendevo dire che devono esserlo per ipotesi altrimenti la definizione non avrebbe senso in quanto serve conoscere per ogni n quale sia la misura dell’anti-immagine di ogni $y_k$.
Poi, di conseguenza, anche il limite lo è.