Dubbio sul significato pratico della L-trasformata a confronto con la F-trasformata
La teoria su cui si basano serie e trasformata di Fourier si prefigge di scrivere un certo segnale
\(\displaystyle x(t) \) come somma o di un certo numero finito di sinusoidi/cosinusoidi, o al limite infinite. Tali armoniche o sono correlate tra di loro con una frequenza multipla di quella fondamentale (caso della serie di Fourier), oppure (nel caso della più generale trasformata) il parametro \(\displaystyle f \) varia con continuità su tutto l'asse reale. Inoltre, ogni armonica che compone il segnale ha una propria ampiezza e una propria fase.
Quindi, la quantità
\(\displaystyle X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi f t} dt \)
è una funzione che:
-prende in ingresso la frequenza \(\displaystyle f \) di una delle sinusoidi che compongono il segnale;
-restituisce in uscita un numero complesso il cui modulo e la cui fase corrispondono proprio all'ampiezza e allo sfasamento da attribuire alla sinusoide di frequenza \(\displaystyle f \).
Mi è dunque chiaro che cosa stanno a rappresentare i parametri della F-trasformata e qual è l'idea di base del suo utilizzo.
Ciò che mi è invece più oscura è la trasformata di Laplace.
Della quantità
\(\displaystyle L(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-st} dt \)
non riesco proprio a comprendere che cosa stia a rappresentare il parametro \(\displaystyle s \) (che stavolta non è più una semplice frequenza \(\displaystyle f \) come nel caso della F-trasformata, ma è un numero complesso), e di conseguenza non riesco nemmeno a interpretarne il senso del risultato che restituisce, ancora una volta numero complesso.
Qualcuno può delucidarmi su questo? Grazie.
\(\displaystyle x(t) \) come somma o di un certo numero finito di sinusoidi/cosinusoidi, o al limite infinite. Tali armoniche o sono correlate tra di loro con una frequenza multipla di quella fondamentale (caso della serie di Fourier), oppure (nel caso della più generale trasformata) il parametro \(\displaystyle f \) varia con continuità su tutto l'asse reale. Inoltre, ogni armonica che compone il segnale ha una propria ampiezza e una propria fase.
Quindi, la quantità
\(\displaystyle X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi f t} dt \)
è una funzione che:
-prende in ingresso la frequenza \(\displaystyle f \) di una delle sinusoidi che compongono il segnale;
-restituisce in uscita un numero complesso il cui modulo e la cui fase corrispondono proprio all'ampiezza e allo sfasamento da attribuire alla sinusoide di frequenza \(\displaystyle f \).
Mi è dunque chiaro che cosa stanno a rappresentare i parametri della F-trasformata e qual è l'idea di base del suo utilizzo.
Ciò che mi è invece più oscura è la trasformata di Laplace.
Della quantità
\(\displaystyle L(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-st} dt \)
non riesco proprio a comprendere che cosa stia a rappresentare il parametro \(\displaystyle s \) (che stavolta non è più una semplice frequenza \(\displaystyle f \) come nel caso della F-trasformata, ma è un numero complesso), e di conseguenza non riesco nemmeno a interpretarne il senso del risultato che restituisce, ancora una volta numero complesso.
Qualcuno può delucidarmi su questo? Grazie.
Risposte
Provo a darti una giustificazione del perche' e' necessario usare la TfL (Trasformata di Laplace) e non e' sufficiente la TdF (Fourier), una giustificazione che comunque non pretende di essere rigorosa e completa.
Il problema della TdF e' che la condizione di esistenza della stessa TdF e' che la funzione da trasformare appartenga alla classe $L^2$ ovvero la classe delle funzioni "a quadrato sommabili".
Vedi anche qui all'inizio:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... efinizione
Le funzioni a quadrato sommabili sono quelle per cui esiste il limite:
$lim_{t-> oo} int_{-t}^t f(x)^2 dx$.
Ad esempio una delle funzioni piu' usate in ingegneria e ad. es in elettrotecnica e' la funzione a gradino o di Heaviside, per cui hai $y=1$ per $x>0$ e invece $y=0$ per le $x$ negative.
Questa funzione non e' a quadrato sommabile:
$lim_{t-> oo} int_{-t}^t f(x)^2 dx = lim_{t-> oo} int_{0}^t dx = lim_{t-> oo} t = oo$
Se pero' applico uno "stratagemma", ovvero moltiplico la funzione di Heaviside per $e^{-\sigma t}$, con $\sigma \in RR$, e' banale ricavare che la funzione diventa a quadrato sommabile (a te il semplice calcolo).
Ecco, la TdL e' proprio questo. Le funzioni vengono rese a quadrato sommabile.
Prendiamo la definizione della TdF con la funzione di Heaviside con lo stratagemma.
$\int_0^{+oo} 1 e^{-\sigma t} e^{-j\omegat} dt = \int_0^{+oo} 1e^{-(\sigma+j\omega)t} dt = $
$\int_0^{+oo} 1 e^{-st} dt$
Ed ecco che abbiamo trovato la definizione della TdL, con $s = \sigma+j\omega$.
Se vuoi una visualizzazione della TdL, mentre la TdF moltiplica la funzione per dei coseni e dei seni che hanno ampiezza costante, la TdL moltiplica per seni e coseni la cui ampiezza si smorza nel tempo per l'effetto di $e^{-t}$.
Immagine di una sinusoide smorzata (non guardare il titolo, non c'entra nulla):
Il problema della TdF e' che la condizione di esistenza della stessa TdF e' che la funzione da trasformare appartenga alla classe $L^2$ ovvero la classe delle funzioni "a quadrato sommabili".
Vedi anche qui all'inizio:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... efinizione
Le funzioni a quadrato sommabili sono quelle per cui esiste il limite:
$lim_{t-> oo} int_{-t}^t f(x)^2 dx$.
Ad esempio una delle funzioni piu' usate in ingegneria e ad. es in elettrotecnica e' la funzione a gradino o di Heaviside, per cui hai $y=1$ per $x>0$ e invece $y=0$ per le $x$ negative.
Questa funzione non e' a quadrato sommabile:
$lim_{t-> oo} int_{-t}^t f(x)^2 dx = lim_{t-> oo} int_{0}^t dx = lim_{t-> oo} t = oo$
Se pero' applico uno "stratagemma", ovvero moltiplico la funzione di Heaviside per $e^{-\sigma t}$, con $\sigma \in RR$, e' banale ricavare che la funzione diventa a quadrato sommabile (a te il semplice calcolo).
Ecco, la TdL e' proprio questo. Le funzioni vengono rese a quadrato sommabile.
Prendiamo la definizione della TdF con la funzione di Heaviside con lo stratagemma.
$\int_0^{+oo} 1 e^{-\sigma t} e^{-j\omegat} dt = \int_0^{+oo} 1e^{-(\sigma+j\omega)t} dt = $
$\int_0^{+oo} 1 e^{-st} dt$
Ed ecco che abbiamo trovato la definizione della TdL, con $s = \sigma+j\omega$.
Se vuoi una visualizzazione della TdL, mentre la TdF moltiplica la funzione per dei coseni e dei seni che hanno ampiezza costante, la TdL moltiplica per seni e coseni la cui ampiezza si smorza nel tempo per l'effetto di $e^{-t}$.
Immagine di una sinusoide smorzata (non guardare il titolo, non c'entra nulla):
Considera un sistema dinamico lineare descritto dalla seguente sistema differenziale ordinario[nota]Che consideriamo unidimensionale e scalare per comodità della trattazione[/nota] :
\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{{y}}(t) = F(y(t), \dot{y}(t)) + x(t)\\
y(0) = y_0\\
\dot{y}(0) = y_1
\end{cases}
\end{equation}
dove $F \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$[nota]La condizione di regolarità su $F$ consente di avere esistenza ed unicità della soluzione del sistema differenziale (1)[/nota] è un polinomio di primo grado delle sue variabili ed $f(t)$ è detta forzante. Se $y(t)=0$, il sistema $(1)$ è detto Tempo Invariante poiché nessun termine dell'equazione dipende esplicitamente dal tempo (nella teoria delle Ode, le incognite, benché dipendono dal tempo, si considerano variabili indipendenti). Tale proprietà ha un significato fisico diretto: se trasliamo le condizioni iniziali di un certo intervallo di tempo $\tau$, quello che otteniamo è una risposta identica traslata dello stesso intervallo di tempo. Per questo motivo, il sistema differenziale può essere visto come un operatore integrale di evoluzione temporale che riceve in ingresso un certo imput $x(t) \in \mathcal{L}^2$[nota]Tutti i cosiddetti segnali, sono funzioni $\mathcal{L}^2$, ovvero a quadrato sommabile in quanto hanno energia, espressa come integrale del modulo quadro, finita. Ad esempio la Theta di Heaviside non è quadrato sommabile, tuttavia non è una funzione fisica perché non esistono segnali che rimangono accesi per sempre[/nota] e dà in output un segnale $y(t) \in \mathcal{L}^2$ come segue (trascurando le condizioni iniziali):
\begin{equation}
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(t-t') x(t') dt'
\end{equation}
Il kernel di questo operatore, $G(t-t')$, è detto Funzione di Green o risposta impulsionale. Grazie a questo tipo di scrittura possiamo verificare facilmente una proprietà tipica dei sistemi lineari:
"La risposta di un sistema lineare ad una forzante armonica ha la stessa frequenza della forzante"
Sia $x(t) = \hat{X}(\omega) e^{i \omega t}$, allora:
\begin{equation}
y(t) = \hat{X}(\omega) e^{i \omega t} \int_{-\infty}^{+\infty} G(\tau) e^{-i \omega \tau} d\tau
\end{equation}
Vediamo in tutto questo come entrano le trasformate di Fourier e di Laplace. Tali operatori hanno la fantastica proprietà di trasformare un prodotto di convoluzione in un prodotto; indicando con il cappellino le trasformate delle funzioni in $(2)$, la trasformata di Laplace/Fourier di $(2)$ è :
\begin{equation}
\hat{Y}(s) = \hat{G}(s) \hat{X}(s)
\end{equation}
Ora cosa differenzia le due trasformate? Innanzitutto, come già ti ha fatto notare Quinzio, le condizioni sull'esistenza della trasformata di Laplace sono molto più deboli rispetto alle condizioni di esistenza della trasformata di Fourier (ti basti pensare che sono Laplace trasformabili tutte le funzioni dominate da esponenziali, il che ti garantisce di poterla usare per praticamente ogni funzione che incontrerai in elettronica). Inoltre la trasformata di Laplace è naturalmente causale (ovvero nulla per $t<0$) e ti consente di includere le condizioni iniziali di un sistema in modo naturale, in quanto:
\begin{equation}
\mathcal{L}[\ddot{x}](s) = s^2 \mathcal{L}[x] -s x(0) -\dot{x}(0)
\end{equation}
Tuttavia ci sono dei lati negativi: primo su tutti la difficoltà nel calcolare l'antitrasformata. La trasformata di Laplace è molto più usata in ingegneria elettronica rispetto alla fisica, poiché spesso si ha a che fare con problemi di Cauchy ordinari.
La trasformata di Fourier è in generale più difficile da determinare in quanto molto spesso risulta necessario estenderla alle distribuzioni anche nei casi più semplici in elettronica (Theta di Heaviside e Onde Piane), deve essere resa causale sfruttando bene le curve attorno ai poli e le condizioni iniziali devono essere introdotte in modo forzato usando le delta di Dirac. In questo caso l'antitrasformata è formalmente identica alla trasformata e quindi più semplice rispetto all'antitrasformata di Laplace. La trasformata di Fourier è molto più usata in fisica, poiché spesso si ha a che fare con equazioni differenziali alle derivate parziali.
Al netto delle differenze matematiche e pratiche, vi sono anche delle (grosse) differenze concettuali tra le due. La trasformata di Laplace è comoda da utilizzare nello studio dei circuiti poiché si fa sempre la tacita assunzione che la dinamica dello stesso è influenzata solamente dalle condizioni iniziali e dalla forzante e non dalle storie che portano alle condizioni iniziali. Inoltre, dal punto di vista euristico, la L-trasformata decompone un segnale su delle pulsazioni armoniche smorzate esponenzialmente, pertanto è naturalmente costruita per tener conto dei fenomeni dissipativi nei circuiti che portano la soluzione generale a sparire a favore di quella particolare dovuta alla forzante. La trasformata di Fourier invece decompone segnali che sono "sempre esistiti e sempre esisteranno" su pulsazioni armoniche. la F-Trasformata è costruita per tener conto solamente della soluzione particolare che è armonica per sollecitazioni armoniche, in virtù di $(3)$[nota]Pensa a quando studi la risposta in frequenza di filtro[/nota].
Trascurando i problemi sulla causalità, sulla convergenza e sulle condizioni iniziali, la trasformata di Laplace generalizza la trasformata di Fourier, in quanto il termine $s = \sigma + i \omega$ dove $\omega$ è la pulsazione che trovi nella trasforma di Fourier. Molto spesso, con un abuso di notazione, viene detto che la F-Trasformata è la L-Trasformata con $s \to i \omega$
\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{{y}}(t) = F(y(t), \dot{y}(t)) + x(t)\\
y(0) = y_0\\
\dot{y}(0) = y_1
\end{cases}
\end{equation}
dove $F \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2)$[nota]La condizione di regolarità su $F$ consente di avere esistenza ed unicità della soluzione del sistema differenziale (1)[/nota] è un polinomio di primo grado delle sue variabili ed $f(t)$ è detta forzante. Se $y(t)=0$, il sistema $(1)$ è detto Tempo Invariante poiché nessun termine dell'equazione dipende esplicitamente dal tempo (nella teoria delle Ode, le incognite, benché dipendono dal tempo, si considerano variabili indipendenti). Tale proprietà ha un significato fisico diretto: se trasliamo le condizioni iniziali di un certo intervallo di tempo $\tau$, quello che otteniamo è una risposta identica traslata dello stesso intervallo di tempo. Per questo motivo, il sistema differenziale può essere visto come un operatore integrale di evoluzione temporale che riceve in ingresso un certo imput $x(t) \in \mathcal{L}^2$[nota]Tutti i cosiddetti segnali, sono funzioni $\mathcal{L}^2$, ovvero a quadrato sommabile in quanto hanno energia, espressa come integrale del modulo quadro, finita. Ad esempio la Theta di Heaviside non è quadrato sommabile, tuttavia non è una funzione fisica perché non esistono segnali che rimangono accesi per sempre[/nota] e dà in output un segnale $y(t) \in \mathcal{L}^2$ come segue (trascurando le condizioni iniziali):
\begin{equation}
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} G(t-t') x(t') dt'
\end{equation}
Il kernel di questo operatore, $G(t-t')$, è detto Funzione di Green o risposta impulsionale. Grazie a questo tipo di scrittura possiamo verificare facilmente una proprietà tipica dei sistemi lineari:
"La risposta di un sistema lineare ad una forzante armonica ha la stessa frequenza della forzante"
Sia $x(t) = \hat{X}(\omega) e^{i \omega t}$, allora:
\begin{equation}
y(t) = \hat{X}(\omega) e^{i \omega t} \int_{-\infty}^{+\infty} G(\tau) e^{-i \omega \tau} d\tau
\end{equation}
Vediamo in tutto questo come entrano le trasformate di Fourier e di Laplace. Tali operatori hanno la fantastica proprietà di trasformare un prodotto di convoluzione in un prodotto; indicando con il cappellino le trasformate delle funzioni in $(2)$, la trasformata di Laplace/Fourier di $(2)$ è :
\begin{equation}
\hat{Y}(s) = \hat{G}(s) \hat{X}(s)
\end{equation}
Ora cosa differenzia le due trasformate? Innanzitutto, come già ti ha fatto notare Quinzio, le condizioni sull'esistenza della trasformata di Laplace sono molto più deboli rispetto alle condizioni di esistenza della trasformata di Fourier (ti basti pensare che sono Laplace trasformabili tutte le funzioni dominate da esponenziali, il che ti garantisce di poterla usare per praticamente ogni funzione che incontrerai in elettronica). Inoltre la trasformata di Laplace è naturalmente causale (ovvero nulla per $t<0$) e ti consente di includere le condizioni iniziali di un sistema in modo naturale, in quanto:
\begin{equation}
\mathcal{L}[\ddot{x}](s) = s^2 \mathcal{L}[x] -s x(0) -\dot{x}(0)
\end{equation}
Tuttavia ci sono dei lati negativi: primo su tutti la difficoltà nel calcolare l'antitrasformata. La trasformata di Laplace è molto più usata in ingegneria elettronica rispetto alla fisica, poiché spesso si ha a che fare con problemi di Cauchy ordinari.
La trasformata di Fourier è in generale più difficile da determinare in quanto molto spesso risulta necessario estenderla alle distribuzioni anche nei casi più semplici in elettronica (Theta di Heaviside e Onde Piane), deve essere resa causale sfruttando bene le curve attorno ai poli e le condizioni iniziali devono essere introdotte in modo forzato usando le delta di Dirac. In questo caso l'antitrasformata è formalmente identica alla trasformata e quindi più semplice rispetto all'antitrasformata di Laplace. La trasformata di Fourier è molto più usata in fisica, poiché spesso si ha a che fare con equazioni differenziali alle derivate parziali.
Al netto delle differenze matematiche e pratiche, vi sono anche delle (grosse) differenze concettuali tra le due. La trasformata di Laplace è comoda da utilizzare nello studio dei circuiti poiché si fa sempre la tacita assunzione che la dinamica dello stesso è influenzata solamente dalle condizioni iniziali e dalla forzante e non dalle storie che portano alle condizioni iniziali. Inoltre, dal punto di vista euristico, la L-trasformata decompone un segnale su delle pulsazioni armoniche smorzate esponenzialmente, pertanto è naturalmente costruita per tener conto dei fenomeni dissipativi nei circuiti che portano la soluzione generale a sparire a favore di quella particolare dovuta alla forzante. La trasformata di Fourier invece decompone segnali che sono "sempre esistiti e sempre esisteranno" su pulsazioni armoniche. la F-Trasformata è costruita per tener conto solamente della soluzione particolare che è armonica per sollecitazioni armoniche, in virtù di $(3)$[nota]Pensa a quando studi la risposta in frequenza di filtro[/nota].
Trascurando i problemi sulla causalità, sulla convergenza e sulle condizioni iniziali, la trasformata di Laplace generalizza la trasformata di Fourier, in quanto il termine $s = \sigma + i \omega$ dove $\omega$ è la pulsazione che trovi nella trasforma di Fourier. Molto spesso, con un abuso di notazione, viene detto che la F-Trasformata è la L-Trasformata con $s \to i \omega$
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