Dubbio su Trasformata Di Fourier del gradino?
Salve a tutti. Nel fare la trasformata del gradino il libro scrive $ F= v.p. 1/(jw)+pidelta $ . Volevo capire da voi esperti che significato ha quel v.p. davanti al valore calcolato e perchè quel risultato. Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao Omi,
v.p. significa valor principale alla Cauchy, nei testi in inglese lo puoi trovare abbreviato in PV (Principal Value). Quanto al perché del risultato potresti dare un'occhiata ad esempio qui, regole 309, 312 e 313.
v.p. significa valor principale alla Cauchy, nei testi in inglese lo puoi trovare abbreviato in PV (Principal Value). Quanto al perché del risultato potresti dare un'occhiata ad esempio qui, regole 309, 312 e 313.
"pilloeffe":
Ciao Omi,
v.p. significa valor principale alla Cauchy, nei testi in inglese lo puoi trovare abbreviato in PV (Principal Value). Quanto al perché del risultato potresti dare un'occhiata ad esempio qui, regole 309, 312 e 313.
Come sempre grazie per la risposta pillo. Però perché non è possibile fare semplicemente la trasformata di Fourier della funzione gradino? In questo caso verrebbe solo 1/jw no?
"Omi":
Come sempre grazie per la risposta pillo.
Prego.
"Omi":
Però perché non è possibile fare semplicemente la trasformata di Fourier della funzione gradino? In questo caso verrebbe solo 1/jw no?
Di questo si è già discusso parecchio sul forum, c'è anche un thread relativamente recente qui.
Pillo quindi la funzione u(t) ammettendo 0 come punto di discontinuità, non converge nel senso classico, ma nel senso del valor principale e quindi si mette quel v.p. giusto?
"Omi":
Pillo quindi la funzione u(t) ammettendo 0 come punto di discontinuità, non converge nel senso classico, ma nel senso del valor principale e quindi si mette quel v.p. giusto?
Attenzione che la discontinuita' in 0 di $u(t)$ non centra nulla con il valore principale.
E' meglio considerare la funzione segno per capire da dove esce quel v.p.
La trasformata della funzione segno e'
$F{sgn(t)}(\omega) = \int_{-oo}^{+oo} sgn(t) e^{-j \omega t} dt = - \int_{-oo}^{0} e^{-j \omega t} dt + \int_{0}^{+oo} e^{-j \omega t} dt = 2 \int_{0}^{+oo} e^{-j \omega t} dt = $
$= 2/{-j \omega} e^{-j \omega t} |_{t=0}^{t=+oo}$
Ora, se $\omega != 0$ non c'e' nessun problema a valutare l'integrale, e la risposta e' $2 / {j \omega}$.
Per il momento ci accontentiamo di questo risultato, e diciamo che
$F{sgn(t)}(\omega) = 2 / {j \omega}$
Ora cerchiamo di capire cosa succede se $\omega = 0$.
La trasformata di Fourier in $\omega = 0$ non e' altro che la sua media, giusto ?
Quindi calcoliamo la media:
$lim_{T -> +oo} \int_{-T}^{+T} sgn(t) dt = 0$.
Giusto ? E' un segnale dispari, la sua media e' zero.
Bene, pero' adesso vorremmo poter eseguire la trasformata inversa della $F{sgn(t)}(\omega)$
e ci piacerebbe trovare lo stesso risultato, in modo da dormire sonni tranquilli.
Purtroppo non e' possibile, perche', come scrivevo prima, $\omega$ e' al denominatore.
Uno stratagemma e' quello di usare le funzioni generalizate, o distribuzioni, come viene spiegato in queste dispense:
http://www.tti.unipa.it/mamola/Fondamenti%20di%20Com.%20Elettriche%20%28ELN%29/Parte%20I/Cap.%20II%20Dominio%20della%20frequenza.pdf
E' inutile che ricopi le stesse formule, ti invito a leggere le dispense dove parla della funzione segno.
In pratica la funzione $1/\omega$ viene intensa nel senso delle funzioni generalizzate e quindi viene valutata sotto un integrale, e quindi si puo' usare il valore principale come modo per valutare il famigerato integrale:
$ \int_{-oo}^{+oo} 1/\omega d\omega$
e scrivere che
$ v.p. \int_{-oo}^{+oo} 1/\omega d\omega = 0$.
Quinzio adesso mi è un po più chiaro. Però è da poco che mi sto approcciando alle distribuzioni e già trovo una marea di difficoltà. Leggendo anche dalle dispense che hai postato, Il discorso fino alla trasformata di Fourier della funzione signt è chiaro. Poi trovo difficoltà a capire il discorso dell'antitrasformata. I miei dubbi sono:
-Non si può antitrasformare in senso classico, perchè 1/w non è definito in 0?
-Dalle dispense non capisco il passaggio che fa nell'ultima parte, perchè considera una funzione f(w)*w^-1 nell'integrale?
Scusa se ti ripropongo le mie perplessità, ma vorrei capire bene questa cosa, altrimenti mi è impossibile approcciarmi agli esercizi.
-Non si può antitrasformare in senso classico, perchè 1/w non è definito in 0?
-Dalle dispense non capisco il passaggio che fa nell'ultima parte, perchè considera una funzione f(w)*w^-1 nell'integrale?
Scusa se ti ripropongo le mie perplessità, ma vorrei capire bene questa cosa, altrimenti mi è impossibile approcciarmi agli esercizi.
Dalle dispense non capisco il passaggio che fa nell'ultima parte, perchè considera una funzione f(w)*w^-1 nell'integrale?
Scusa, a quale formula ti riferisci nelle dispense ?
Ogni formula ha un numero, puoi indicare il numero della formula, cosi' ci capiamo al volo ?
La numero II.5.19. E un passo prima indica la funzione generalizzata che immagino sia 1/w giusto?
Prova a guardare queste altre dispense del Politecnico di Torino, che sono ben fatte a mio avviso, partendo dall'inizio.
Poi arrivi a pag 18, dove si dovrebbe infine chiarire il senso di quella formula (II.5.19)
http://calvino.polito.it/~tabacco/complessa/cap4.pdf
Poi arrivi a pag 18, dove si dovrebbe infine chiarire il senso di quella formula (II.5.19)
http://calvino.polito.it/~tabacco/complessa/cap4.pdf
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