Dubbio su metodo risolutivo funzioni polidrome

[Maxandri1]

mi trovo questo tipo di funzioni \[\int_{0}^{\infty}\frac{x^\frac{1}{6}}{1+x^4}\]
che ha 4 poli semplici e con il metodo dei residui applicato a tutti e 4 i poli trovo \[\pi i e^{i\pi/4}\frac{\sqrt{2}}{2}\].
In un testo ho trovato questa formula \[\int_{0}^{\infty} \frac{x^a}{P(x)}=\frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i(a-1)}}\sum Res (\frac{z^{a-1}}{P{(z_{i})}}, z_{k})\] (corretta?)
Ma se procedo come mi è stato insegnato trovo
\[f(z=re^{i\vartheta })=\frac{r^{1/6}}{1+r^4}\] mentre dall'altra parte del taglio troverei \[f(z=re^{i(2\pi-\vartheta)})=\frac{r^{1/6}e^{i\pi/3}}{1+r^4 e^{i\pi/3}}\]
A questo punto mi troverei in difficoltà nel mettere in relazione le due f(z), f(z+) e f(z-) che invece dovrebbero essere messe in relazione con un e^. Inoltre non mi trovo con la formula data prima. Cosa sbaglio?

[Studente Anonimo]

Intanto:



$\int_{r}^{R}root(6)(x)/(1+x^4)dx+\int_{C_R}f(z)dz-e^(i\pi/3)\int_{r}^{R}root(6)(x)/(1+x^4)dx+\int_{C_r}f(z)dz=$

$=2\pii[Res(e^(i\pi/4))+Res(e^(i(3\pi)/4))+Res(e^(i(5\pi)/4))+Res(e^(i(7\pi)/4))]$

Passando al limite:

1. Per il teorema del piccolo cerchio: $[lim_(r->0^+)\int_{C_r}f(z)dz=0]$

2. Per il teorema del grande cerchio: $[lim_(R->+oo)\int_{C_R}f(z)dz=0]$

In definitiva:

$\int_{0}^{+oo}root(6)(x)/(1+x^4)dx=(2\pii[Res(e^(i\pi/4))+Res(e^(i(3\pi)/4))+Res(e^(i(5\pi)/4))+Res(e^(i(7\pi)/4))])/(1-e^(i\pi/3))$

[Maxandri1]

Grazie, questo è ok, lo avevo tralasciato. Ho trovato l'errore. Avevo scritto
\[f(z=re^{i(2\pi-\vartheta)})=\frac{r^{1/6}e^{i\pi/3}}{1+r^4 e^{i\pi/3}}\] Invece è \[f(z=re^{i(2\pi-\vartheta)})=\frac{r^{1/6}e^{i\pi/3}}{1+r^4 e^{8i\pi}}\]
Grazie comunque

[Studente Anonimo]

Ok. La formula corretta è:

\[\int_{0}^{\infty} \frac{x^a}{P(x)}dx=\frac{2\pi i}{1-e^{2\pi i(a-1)}}\sum Res (\frac{z^{a}}{P{(z)}}, z_{k})\]