Dubbio soluzione PDE
Salve a tutti, ho questa PDE su $(0,1) \times (0,T)$
$$
u_t=u_{xx}-tx(1-x)
$$
con condizione iniziale
$$
u(x,0)=-(1-x)(e^x-1) \,\,\, x\in (0,1)
$$
con condizioni di Dirichlet omogenee al bordo. Devo mostrare che la soluzione rimane non positiva $u(x,t)<=0$ per ogni $(x,t)\in(0,1)\times(0,T)$. Abbiamo visto il principio del massimo per questo tipo di equazioni e qualche risultato sul confronto fra le soluzioni ma non riesco proprio a capire come procedere. Mi potete illuminare?
$$
u_t=u_{xx}-tx(1-x)
$$
con condizione iniziale
$$
u(x,0)=-(1-x)(e^x-1) \,\,\, x\in (0,1)
$$
con condizioni di Dirichlet omogenee al bordo. Devo mostrare che la soluzione rimane non positiva $u(x,t)<=0$ per ogni $(x,t)\in(0,1)\times(0,T)$. Abbiamo visto il principio del massimo per questo tipo di equazioni e qualche risultato sul confronto fra le soluzioni ma non riesco proprio a capire come procedere. Mi potete illuminare?
Risposte
Il dato al bordo è continuo? Quale è il segno del dato al bordo?
Al bordo ho $u(0,t)=0=u(1,t)$. (Si intende questo per dato al bordo?)
Per dato al bordo si intende il valore che soluzione è vincolata ad assumere sulla (in questo caso) cosiddetta frontiera parabolica del dominio, ovvero su $(0;1)\times\{0\} \cup \{0,1\} \times [0,T]$.
Detto mostruosamente è una specie di bicchiere vuoto, nel tuo caso (2D) è il rettangolo privato della base superiore.
Quindi in questo caso il dato al bordo è:
$$u(0,t) = u(1,t)= 0 \quad t \in [0,T] \quad \quad u(x,0)= -(1-x)(e^x-1) \quad x \in (0;1) $$
Ti chiedo, è continuo? Quale è il suo segno? Quali sono le ipotesi del principio del massimo? Che dice?
Detto mostruosamente è una specie di bicchiere vuoto, nel tuo caso (2D) è il rettangolo privato della base superiore.
Quindi in questo caso il dato al bordo è:
$$u(0,t) = u(1,t)= 0 \quad t \in [0,T] \quad \quad u(x,0)= -(1-x)(e^x-1) \quad x \in (0;1) $$
Ti chiedo, è continuo? Quale è il suo segno? Quali sono le ipotesi del principio del massimo? Che dice?
Si, è continuo ed è non positivo.
Ma non riesco a cogliere il collegamento col principio del max... Ho due "versioni"
Principio del max debole
Sia $u\in C(\bar{\Omega}) \cup C^2(\Omega)$ allora $\u_t-u_{x x}<=0$ implica $\max u$ su $\bar{\Omega}$ = $\max u$ sulla frontiera parabolica.
Principio del max forte
Sia $u\in C(\bar{\Omega}) \cup C^2(\Omega)$ allora se $\u_t-u_{x x}<=0$ e inoltre $u$ assume in un punto $(x_0,t_0)\in\Omega$ il suo massimo, allora $u(x,t)=u(x_0,t_0)$ per ogni $(x,t)\in Omega \cup \{t<=t_0\}$
formulati anche per il minimo rovesciando le disuguaglianze
Ma non riesco a cogliere il collegamento col principio del max... Ho due "versioni"
Principio del max debole
Sia $u\in C(\bar{\Omega}) \cup C^2(\Omega)$ allora $\u_t-u_{x x}<=0$ implica $\max u$ su $\bar{\Omega}$ = $\max u$ sulla frontiera parabolica.
Principio del max forte
Sia $u\in C(\bar{\Omega}) \cup C^2(\Omega)$ allora se $\u_t-u_{x x}<=0$ e inoltre $u$ assume in un punto $(x_0,t_0)\in\Omega$ il suo massimo, allora $u(x,t)=u(x_0,t_0)$ per ogni $(x,t)\in Omega \cup \{t<=t_0\}$
formulati anche per il minimo rovesciando le disuguaglianze
Se il dato al bordo non fosse continuo non potresti applicare il principio del massimo che chiede che la soluzione sia continua fino al bordo (cosa che non potrebbe essere se dovesse assumere un dato discontinuo). Detto ciò, la soluzione sul bordo assume valori non positivi e sappiamo che assume sul bordo il massimo. Allora non può assumere valori positivi in $(0, 1)\times(0,T)$, se lo facesse violerebbe il principio del massimo!
Comunque dovrebbe essere $C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$...
Comunque dovrebbe essere $C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$...
Chiaro!!!!
grazie
(per le regolarità mi ritrovo scritto come avevo scritto prima :/)
grazie
(per le regolarità mi ritrovo scritto come avevo scritto prima :/)
La funzione deve essere (almeno) derivabile 2 volte in spazio e una in tempo con continuità e continua fino al bordo, quindi il simbolo giusto è quello di intersezione!
In effetti tu scrivi $C^{2}$ ma basta $C^{2,1}$...
In effetti tu scrivi $C^{2}$ ma basta $C^{2,1}$...
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