Dubbio integrale complesso svolto da un collega
Ciao a tutti, stavo ricontrollando un pò di esercizi svolti e mi sono trovato un esercizio sugli integrali complessi svolto da un collega in cui credo (nonostante il risultato sia corretto) ci sia un errore nella parte finale. L'integrale in questione è :
L'integranda \(\displaystyle f(x) \) è sommabile perchè infinitesima all'infinito. Consideriamo l'estensione :
e integriamo sulla semicirconferenza superiore. Da qui, osservando che gli integrali su \(\displaystyle \Gamma_{\epsilon},\Gamma_R \to 0 \) allora otteniamo :
nel primo integrale sostituiamo \(\displaystyle -x = z \;\;;\;\;dx=-dz\) e cambiamo gli estremi di integrazione :
quindi si ha :
e per confronto ottiene il risultato corretto ovvero \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}} \). Adesso il dubbio è : ma dato che i due integrali sono uguali non era possibile scrivere ?
che però fornisce un risultato sbagliato..dove sta il problema? Forse ho sbagliato qualche segno nel passaggio \(\displaystyle (\#) \) ? Grazie
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\;(x^2+1)} \; dx \)
L'integranda \(\displaystyle f(x) \) è sommabile perchè infinitesima all'infinito. Consideriamo l'estensione :
\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{\sqrt{|z|}\;e^{i \frac{arg(z)}{2}} \;(z^2+1)} \;\;\;\;\;\; \)in \(\displaystyle \;\;\;\mathbb{C}-\{0\;\;\pm i\} \)
e integriamo sulla semicirconferenza superiore. Da qui, osservando che gli integrali su \(\displaystyle \Gamma_{\epsilon},\Gamma_R \to 0 \) allora otteniamo :
\(\displaystyle \int_{+\partial D} f(z)\;dz = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{|-x|} \; e^{i \frac{\pi}{2}}\;(x^2+1)} \;dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|x|}\;(x^2+1)} \;dx \)
nel primo integrale sostituiamo \(\displaystyle -x = z \;\;;\;\;dx=-dz\) e cambiamo gli estremi di integrazione :
\(\displaystyle (\#) \;\;\;\;\;\;\; \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|z|} \; i \;(z^2+1)} \;(-dz) = \int_{0}^{\infty} \frac{i}{\sqrt{|z|}\;(z^2+1)} \;dz = \int_{0}^{\infty} \frac{i}{\sqrt{|x|}\;(x^2+1)} \;dx \)
quindi si ha :
\(\displaystyle \int_{+\partial D} f(z)\;dz = i \; \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|x|}\;(x^2+1)} \;dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|x|}\;(x^2+1)} \;dx = 2\pi\;i \;Res_f(i) = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \;(1-i) \)
e per confronto ottiene il risultato corretto ovvero \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}} \). Adesso il dubbio è : ma dato che i due integrali sono uguali non era possibile scrivere ?
\(\displaystyle (1+i) \; \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|x|}\;(x^2+1)} \;dx = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \;(1-i) \;\;\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;\;\;\; \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{|x|}\;(x^2+1)} \;dx = - i \; \frac{\pi}{\sqrt{2}} \)
che però fornisce un risultato sbagliato..dove sta il problema? Forse ho sbagliato qualche segno nel passaggio \(\displaystyle (\#) \) ? Grazie
Risposte
L'integranda f(x) è sommabile perchè infinitesima all'infinito.... di ordine superiore al primo. Pure $1/((1+x^2)^(1/2))$ è infinitesima all'infinito ma non è sommabile. In ogni caso per questo tipo di calcoli non ti serve sapere a priori che l'integrale è convergente.
Comunque mi allarma l'uso del teorema dei residui in presenza della funzione non analitica $sqrt{|z|}$.
"dissonance":
... di ordine superiore al primo.
dimenticanza, chiedo venia
"dissonance":
Comunque mi allarma l'uso del teorema dei residui in presenza della funzione non analitica $sqrt{|z|}$.
perchè? il nostro prof lo applica in tutti gli esercizi con gli integrali senza fare discriminazioni quindi ho imparato a farli così. Non so se la frase precedente può sembrarti "polemica" ma non è mia intenzione, anzi è proprio per capire il perchè della tua affermazione.
Per quanto riguarda invece la parte finale dell'esercizio dove sta il problema nel raggruppamento? Andando a spulciare tutta la lista di esercizi ho visto che in tutti quelli in cui si effettua il cambio di variabile alla fine si fa sempre un confronto tra parti reali e immaginarie. Ma per quale motivo? Forse (spero di non dire boiate) perchè questi integrali sono calcolati in valore principale?
A un certo punto tu usi il teorema dei residui per sbarazzarti di un integrale. Ma questo vale solo se la funzione integranda è analitica (o olomorfa, sono sinonimi). Sennò no.
La funzione $f(z)=\sqrt{|z|}$ non è analitica in nessun punto: adesso non ci mettiamo a dimostrare questa affermazione; sono possibili varie dimostrazioni ma ne parliamo dopo il tuo esame. In ogni caso il problema è che $z\mapsto |z|$ NON è una funzione analitica, così come non lo è $z\mapsto \overline{z}$ (in pratica, la non-analiticità viene sempre da queste due funzioni qui).
Questa qui non è una pignoleria ma un errore concettuale grave che salta immediatamente agli occhi di un matematico, ecco perché insisto. Se vuoi svolgere correttamente l'esercizio, devi prendere un'altra estensione $f=f(z)$ della tua funzione $f=f(x)$.
Ad esempio, potresti pensare di lavorare solo nel semipiano destro \(\Re z >0\) e considerare \(\sqrt{z}\) nel senso della parte principale (che ha la semiretta di discontinuità sull'asse reale negativo). ATTENZIONE! Non sono sicuro che funzioni, faccio raramente questo tipo di esercizi
La funzione $f(z)=\sqrt{|z|}$ non è analitica in nessun punto: adesso non ci mettiamo a dimostrare questa affermazione; sono possibili varie dimostrazioni ma ne parliamo dopo il tuo esame. In ogni caso il problema è che $z\mapsto |z|$ NON è una funzione analitica, così come non lo è $z\mapsto \overline{z}$ (in pratica, la non-analiticità viene sempre da queste due funzioni qui).
Questa qui non è una pignoleria ma un errore concettuale grave che salta immediatamente agli occhi di un matematico, ecco perché insisto. Se vuoi svolgere correttamente l'esercizio, devi prendere un'altra estensione $f=f(z)$ della tua funzione $f=f(x)$.
Ad esempio, potresti pensare di lavorare solo nel semipiano destro \(\Re z >0\) e considerare \(\sqrt{z}\) nel senso della parte principale (che ha la semiretta di discontinuità sull'asse reale negativo). ATTENZIONE! Non sono sicuro che funzioni, faccio raramente questo tipo di esercizi
Scusa, mi accorgo di avere sbagliato. Non avevo letto il termine \(e^{i\text{arg}(z)/2}\), mannaggia alla testa mia. Hai considerato esattamente la determinazione principale della radice quadrata, proprio quello che dicevo nel post precedente. La funzione \(\sqrt{|z|}e^{i\text{arg}(z)/2}\) è analitica su \(\mathbb C\setminus{z\le0}\).
Dato che mi piace proporre soluzioni alternative... Nota che:
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ (x^2+1)} \ \text{d} x \stackrel{t=\sqrt{x}}{=} 2\ \int_0^\infty \frac{1}{t^4 + 1}\ \text{d} t = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^4+1}\ \text{d} t
\]
e che:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^4+1}\ \text{d} t &= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Res} (f(t), \mathbf{e}^{\mathbf{i} \pi/4}) + \operatorname{Res} (f(t), \mathbf{e}^{\mathbf{i} 3\pi/4})\right)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \frac{1}{4\mathbf{e}^{\mathbf{i} 3\pi/4}} + \frac{1}{4 \mathbf{e}^{\mathbf{i} 9\pi/4}}\right)\\
&= \frac{\pi}{2}\ \mathbf{i}\ (-\sqrt{2}\ \mathbf{i})\\
&= \frac{\pi}{\sqrt{2}}\; ,
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ (x^2+1)} \ \text{d} x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\; .
\]
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ (x^2+1)} \ \text{d} x \stackrel{t=\sqrt{x}}{=} 2\ \int_0^\infty \frac{1}{t^4 + 1}\ \text{d} t = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^4+1}\ \text{d} t
\]
e che:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^4+1}\ \text{d} t &= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \operatorname{Res} (f(t), \mathbf{e}^{\mathbf{i} \pi/4}) + \operatorname{Res} (f(t), \mathbf{e}^{\mathbf{i} 3\pi/4})\right)\\
&= 2\pi\ \mathbf{i}\ \left( \frac{1}{4\mathbf{e}^{\mathbf{i} 3\pi/4}} + \frac{1}{4 \mathbf{e}^{\mathbf{i} 9\pi/4}}\right)\\
&= \frac{\pi}{2}\ \mathbf{i}\ (-\sqrt{2}\ \mathbf{i})\\
&= \frac{\pi}{\sqrt{2}}\; ,
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ (x^2+1)} \ \text{d} x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\; .
\]
"gugo82":
Dato che mi piace proporre soluzioni alternative... [...]
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\ (x^2+1)} \ \text{d} x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\; .
\]
Grazie mille ad entrambi per i chiarimenti, ottima anche la soluzione alternativa che non guasta mai conoscere 
oggi ho fatto l'esame e penso sia andato bene. Ah, indovinate un pò? L'integrale da risolvere era :
menomale che non avevo dubbi su come procedere e sono arrivato senza problemi al risultato corretto (già verificato) di \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}} \). Magari se vi va passate dall'ultimo topic per darmi una conferma, grazie ancora!
oggi ho fatto l'esame e penso sia andato bene. Ah, indovinate un pò? L'integrale da risolvere era :\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} \;dx \)
menomale che non avevo dubbi su come procedere e sono arrivato senza problemi al risultato corretto (già verificato) di \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}} \). Magari se vi va passate dall'ultimo topic per darmi una conferma, grazie ancora!
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