Dubbio definizione norma di funzionali lineari e continue
Ciao a tutti, sono abbastanza in crisi su questa cosa che forse dovrebbe essere banale, ma che non riesco proprio a vedere:
Sia E spazio vettoriale normato
Allora la norma di una applicazione f:E->R (del duale topologico di E) è definita così $ || f || = SUP | f(x) | $ con il sup che è fatto sugli $ x \in E $ e tali che $||x|| <= 1$ .
Non mi riesco a spiegare perché questa definizione sia equivalente a quella che si dà considerando come argomento del sup $ f(x/||x||) $con x che però questa volta facciamo variare su tutti gli elementi non nulli di E.
So che $ f(x/||x||) = (f(x))/(||x||) $ grazie alla linearità, però siccome nel secondo caso cerchiamo il sup con x che sì varia in E , ma nell’argomento del sup poi è normalizzata, non è che come se stessimo cercando il sup solo sul bordo palla unitaria , mentre nel primo caso stiamo cercando il sup su tutta la palla unitaria?
Vorrei capire perché le due scritture sono uguali... perchè io riesco a vedere solo una disuguaglianza, ossia che la prima mi dia un risultato maggiore o uguale della seconda, in quanto la x spazia su tutta la palla unitaria e non solo sul suo bordo.
Sia E spazio vettoriale normato
Allora la norma di una applicazione f:E->R (del duale topologico di E) è definita così $ || f || = SUP | f(x) | $ con il sup che è fatto sugli $ x \in E $ e tali che $||x|| <= 1$ .
Non mi riesco a spiegare perché questa definizione sia equivalente a quella che si dà considerando come argomento del sup $ f(x/||x||) $con x che però questa volta facciamo variare su tutti gli elementi non nulli di E.
So che $ f(x/||x||) = (f(x))/(||x||) $ grazie alla linearità, però siccome nel secondo caso cerchiamo il sup con x che sì varia in E , ma nell’argomento del sup poi è normalizzata, non è che come se stessimo cercando il sup solo sul bordo palla unitaria , mentre nel primo caso stiamo cercando il sup su tutta la palla unitaria?
Vorrei capire perché le due scritture sono uguali... perchè io riesco a vedere solo una disuguaglianza, ossia che la prima mi dia un risultato maggiore o uguale della seconda, in quanto la x spazia su tutta la palla unitaria e non solo sul suo bordo.
Risposte
Sfrutta l'omogeneità del funzionale.
"otta96":
Sfrutta l'omogeneità del funzionale.
$ f(x /(norm(x)))=f(x)/(norm(x)) $ non è questa la proprietà di omogeneità?
Devi provare che:
$"sup"_(norm(x) <= 1) f(x) = "sup"_(x != mathbf(0)) f(x/(norm(x)))$ [che poi è la stessa cosa di $"sup"_(x != mathbf(0)) (f(x))/(norm(x))$].
Dai un nome al primo membro, diciamo $M$, sicché devi far vedere che $M$ è anche l'estremo superiore di $f(x/(norm(x)))$ su $E \setminus \{mathbf(0)\}$. Come si fa?
$"sup"_(norm(x) <= 1) f(x) = "sup"_(x != mathbf(0)) f(x/(norm(x)))$ [che poi è la stessa cosa di $"sup"_(x != mathbf(0)) (f(x))/(norm(x))$].
Dai un nome al primo membro, diciamo $M$, sicché devi far vedere che $M$ è anche l'estremo superiore di $f(x/(norm(x)))$ su $E \setminus \{mathbf(0)\}$. Come si fa?
Può quel sup essere "realizzato" in un punto di norma $1/2$? Rifletti su questo.
"gugo82":
Devi provare che:
$"sup"_(norm(x) <= 1) f(x) = "sup"_(x != mathbf(0)) f(x/(norm(x)))$ [che poi è la stessa cosa di $"sup"_(x != mathbf(0)) (f(x))/(norm(x))$].
Dai un nome al primo membro, diciamo $M$, sicché devi far vedere che $M$ è anche l'estremo superiore di $f(x/(norm(x)))$ su $E \setminus \{mathbf(0)\}$. Come si fa?
Forse ho capito, mi puoi dire se è giusto vederla nel seguente modo?
Faccio vedere l’uguaglianza con una doppia disuguaglianza, di cui una l’ho ‘spiegata’ nel post iniziale , mentre l’altra potrei vederla così:
L’argomento del sup del primo membro se lo vedo come $||x|| * f(x/||x||)$ ottengo che posso maggiorarlo col secondo membro perchè al primo la ||x|| varia sulle x che hanno norma minore o uguale a 1. Giusto?
Si, va bene.
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