Dubbi sulle funzioni test
Buongiorno a tutti. Studiavo le distribuzioni e mi sono imbattuto nel seguente teorema:
"Se la derivata nel senso delle distribuzioni di una distribuzione $f$ è pari a $0$, allora $f$ è costante".
Uno dei passaggi cruciali della dimostrazione è il seguente (cito testualmente dagli appunti di Metodi Matematici del mio professore): "Si verifica facilmente che la derivata di una funzione test si caratterizza come una funzione test a integrale nullo". Il mio libro aggiunge: "Inversamente ogni funzione test a integrale nullo è derivata di una funzione test".
Ecco, il mio problema è questo: non riesco a capire come si potrebbe verificare (facilmente, peraltro) che queste due affermazioni sono vere. Magari è davvero una cosa ovvia... qualcuno potrebbe, però, postarmi una dimostrazione del perché?
Inoltre ho una seconda domanda, relativa alla definzione di funzione test, che è la seguente:
"Una funzione test è una funzione di classe $C^(\infty)(RR)$ tale che il suo supporto è compatto, ove il "supporto" è la chiusura dei valori di $RR$ per i quali la funzione assume valori diversi da 0". Ciò significa che una funzione test è sempre nulla ad eccezione di un intervallo chiuso e limitato di $RR$. Mi chiedo allora: all'interno di questo intervallo, possono esserci singoli punti in cui la funzione test è nulla? La mia risposta è sì, dal momento che, essendo il supporto per definizione la "chiusura" dell'insieme di $RR$ per cui la funzione è non nulla, esso conterrebbe anche quei singoli punti incriminati e sarebbe dunque ancora un insieme compatto. E' giusto il ragionamento?
Le due domande sono in qualche modo collegate, perché altrimenti non riuscirei a spiegarmi l'esistenza di una funzione test a integrale nullo ad esclusione della funzione identicamente nulla
.
Ringrazio in anticipo per ogni possibile risposta.
"Se la derivata nel senso delle distribuzioni di una distribuzione $f$ è pari a $0$, allora $f$ è costante".
Uno dei passaggi cruciali della dimostrazione è il seguente (cito testualmente dagli appunti di Metodi Matematici del mio professore): "Si verifica facilmente che la derivata di una funzione test si caratterizza come una funzione test a integrale nullo". Il mio libro aggiunge: "Inversamente ogni funzione test a integrale nullo è derivata di una funzione test".
Ecco, il mio problema è questo: non riesco a capire come si potrebbe verificare (facilmente, peraltro) che queste due affermazioni sono vere. Magari è davvero una cosa ovvia... qualcuno potrebbe, però, postarmi una dimostrazione del perché?
Inoltre ho una seconda domanda, relativa alla definzione di funzione test, che è la seguente:
"Una funzione test è una funzione di classe $C^(\infty)(RR)$ tale che il suo supporto è compatto, ove il "supporto" è la chiusura dei valori di $RR$ per i quali la funzione assume valori diversi da 0". Ciò significa che una funzione test è sempre nulla ad eccezione di un intervallo chiuso e limitato di $RR$. Mi chiedo allora: all'interno di questo intervallo, possono esserci singoli punti in cui la funzione test è nulla? La mia risposta è sì, dal momento che, essendo il supporto per definizione la "chiusura" dell'insieme di $RR$ per cui la funzione è non nulla, esso conterrebbe anche quei singoli punti incriminati e sarebbe dunque ancora un insieme compatto. E' giusto il ragionamento?
Le due domande sono in qualche modo collegate, perché altrimenti non riuscirei a spiegarmi l'esistenza di una funzione test a integrale nullo ad esclusione della funzione identicamente nulla
.Ringrazio in anticipo per ogni possibile risposta.
Risposte
Alla prima domanda mi sembra che si possa rispondere al volo col teorema fondamentale del calcolo.
"Raptorista":
Alla prima domanda mi sembra che si possa rispondere al volo col teorema fondamentale del calcolo.
In pratica stiamo dicendo che, se $\phi$ è una funzione test e $\psi = \phi'$, se $[a,b]$ è il supporto di $\psi$ allora
$\int_a^b \psi(t) dt = \phi(b) - \phi(a) = 0$
Dunque stiamo dicendo che i punti $a$ e $b$ ricadono "fuori" dal supporto di $\phi$... per quale motivo?
No, stiamo dicendo che
significa:
1. \(\varphi \in C^\infty_0\) implica \(\varphi' \in C^\infty_0\) e \(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi' = 0\).
2. \(\varphi \in C^\infty_0\) e \(\int_\mathbb R \varphi = 0\) implica \(\int_{-\infty}^x \varphi \in C^\infty_0\).
Entrambe queste affermazioni mi sembrano ovvie, come dice il tuo professore.
"Zultacchie":
"Si verifica facilmente che la derivata di una funzione test si caratterizza come una funzione test a integrale nullo". Il mio libro aggiunge: "Inversamente ogni funzione test a integrale nullo è derivata di una funzione test".
significa:
1. \(\varphi \in C^\infty_0\) implica \(\varphi' \in C^\infty_0\) e \(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi' = 0\).
2. \(\varphi \in C^\infty_0\) e \(\int_\mathbb R \varphi = 0\) implica \(\int_{-\infty}^x \varphi \in C^\infty_0\).
Entrambe queste affermazioni mi sembrano ovvie, come dice il tuo professore.
Comunque il libro non aggiunge niente alla prima affermazione, perché "si caratterizza" significa "se e solo se", quindi include anche la frase del libro.
"Raptorista":
No, stiamo dicendo che
[quote="Zultacchie"]"Si verifica facilmente che la derivata di una funzione test si caratterizza come una funzione test a integrale nullo". Il mio libro aggiunge: "Inversamente ogni funzione test a integrale nullo è derivata di una funzione test".
significa:
1. \(\varphi \in C^\infty_0\) implica \(\varphi' \in C^\infty_0\) e \(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi' = 0\).
2. \(\varphi \in C^\infty_0\) e \(\int_\mathbb R \varphi = 0\) implica \(\int_{-\infty}^x \varphi \in C^\infty_0\).
Entrambe queste affermazioni mi sembrano ovvie, come dice il tuo professore.[/quote]
Grazie per l'illuminazione sul significato di "si caratterizza come", non avevo mai incontrato quest'espressione prima d'ora.
Quando mi dici di applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale stai dicendo che:
$\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi'(t) dt = [\varphi(t)]_{-\infty}^{+\infty} = 0 - 0 = 0$,
poiché è $\varphi$ è nulla "all'infinito", ed è in questo senso che la "1" è ovvia, giusto?
Hmm, credo di capire, effettivamente era una domanda stupida
.Per quanto riguarda la seconda domanda, invece?
Dire che una funzione test è sempre nulla ad eccezione di un intervallo chiuso e limitato [size=200]NON[/size] significa che all'interno di quell'intervallo non possa essere nulla.
"Raptorista":
Dire che una funzione test è sempre nulla ad eccezione di un intervallo chiuso e limitato [size=200]NON[/size] significa che all'interno di quell'intervallo non possa essere nulla.
Ma nell'esempio che hai postato, il supporto della funzione non è compatto o mi sbaglio?
EDIT: no, scusa, riguardando la definizione di insieme compatto è giusto ciò che dici.
Quanto hai preso ad analisi 1? È ora di tornare a fare un giro al primo anno!
Nel mio esempio ci sono solo le parentesi messe male, le tonde e le quadre vanno scambiate, adesso lo sistemo.
Nel mio esempio ci sono solo le parentesi messe male, le tonde e le quadre vanno scambiate, adesso lo sistemo.
"Zultacchie":
EDIT: no, scusa, riguardando la definizione di insieme compatto è giusto ciò che dici.
Too slow
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