Dubbi nozioni di analisi complessa
Buongiorno a tutti. Sto studiando metodi matematici e mi sembra tutto così difficile a livello intuitivo, sebbene il calcolo è tutt'altro che tale. Non riesco a capire le differenze sostanziali fra campo reale e campo complesso. Spiego meglio le mie perplessità:
1) La serie di Laurent è definita solo nel campo complesso ma cosa ci vieta di utilizzare questa approssimazione anche per una funzione $f:R^2->R^2$? Sarà a causa delle differenze stutturali e topologiche del campo complesso rispetto a quello dei reali?
2)L'integrale di linea sui vari punti singolari $z_k$ restituisce il valore dell'immagine della funzione $f$ nel punto $z_k$ (teorema del valor medio) e questo altro non è che il residuo dell'integrale sulla curva $gamma$ che racchiude il punto singolare. Quello che però mi sbalordisce è la sua connessione con gli integrali impropri nel campo reale. Sappiamo che per il teorema del piccolo e grande cerchio una funzione integranda del tipo: $int_0^(oo)f(x)dx=1/2int_(-oo)^(oo)f(z)dz$ con le condizioni : $xf(x)->_(x->oo)0$,$|zf(z)| ->_(z->oo)0$ .
Non ho colto bene come sia possibile stabilire questa relazione. Perchè quindi risulta così semplice studiare un integrale improprio nel campo complesso rispetto al campo reale? Perchè la somma dei residui in campo complesso equivale a calcolare l'integrale improprio nel campo reale?
Grazie
1) La serie di Laurent è definita solo nel campo complesso ma cosa ci vieta di utilizzare questa approssimazione anche per una funzione $f:R^2->R^2$? Sarà a causa delle differenze stutturali e topologiche del campo complesso rispetto a quello dei reali?
2)L'integrale di linea sui vari punti singolari $z_k$ restituisce il valore dell'immagine della funzione $f$ nel punto $z_k$ (teorema del valor medio) e questo altro non è che il residuo dell'integrale sulla curva $gamma$ che racchiude il punto singolare. Quello che però mi sbalordisce è la sua connessione con gli integrali impropri nel campo reale. Sappiamo che per il teorema del piccolo e grande cerchio una funzione integranda del tipo: $int_0^(oo)f(x)dx=1/2int_(-oo)^(oo)f(z)dz$ con le condizioni : $xf(x)->_(x->oo)0$,$|zf(z)| ->_(z->oo)0$ .
Non ho colto bene come sia possibile stabilire questa relazione. Perchè quindi risulta così semplice studiare un integrale improprio nel campo complesso rispetto al campo reale? Perchè la somma dei residui in campo complesso equivale a calcolare l'integrale improprio nel campo reale?
Grazie
Risposte
"Boomerang":
1) La serie di Laurent è definita solo nel campo complesso ma cosa ci vieta di utilizzare questa approssimazione anche per una funzione $f:R^2->R^2$? Sarà a causa delle differenze stutturali e topologiche del campo complesso rispetto a quello dei reali?
Beh, prova a vedere cosa ne vine fuori... Come vuoi usare le potenze negative con due variabili reali?
"Boomerang":
2)L'integrale di linea sui vari punti singolari $z_k$ restituisce il valore dell'immagine della funzione $f$ nel punto $z_k$ (teorema del valor medio) e questo altro non è che il residuo dell'integrale sulla curva $gamma$ che racchiude il punto singolare. Quello che però mi sbalordisce è la sua connessione con gli integrali impropri nel campo reale. Sappiamo che per il teorema del piccolo e grande cerchio una funzione integranda del tipo: $int_0^(oo)f(x)dx=1/2int_(-oo)^(oo)f(z)dz$ con le condizioni : $xf(x)->_(x->oo)0$,$|zf(z)| ->_(z->oo)0$ .
Non ho colto bene come sia possibile stabilire questa relazione. Perchè quindi risulta così semplice studiare un integrale improprio nel campo complesso rispetto al campo reale? Perchè la somma dei residui in campo complesso equivale a calcolare l'integrale improprio nel campo reale?
Sinceramente, non si capisce il senso della domanda.
Ti interessa sapere come mai gli integrali reali sono legati a quelli complessi? Di solito ciò non si capisce bene per via delle "scorciatoie" che ormai imperano sui testi di Analisi Complessa per gli ingegneri/fisici.
Se è così, prova a leggere come si fa davvero un calcolo di integrale reale in campo complesso: ad esempio, potresti cominciare da qui, qui, qui e qui (miei vecchi post).
"gugo82":
Beh, prova a vedere cosa ne vine fuori... Come vuoi usare le potenze negative con due variabili reali?
la domanda deriva da una mia curiosità nata pensando a quelle funzioni aventi differenziali chiusi ma non esatti (il cui dominio non è stellato) come ad esempio: $gradf(x,y)=(y/sqrt(x^2+y^2),x/sqrt(x^2+y^2))$;
se si integra la forma differenziale su una circonferenza unitaria $gamma$, centrata in $(0,0)$ ,che è un punto in cui la funzione non è definita, otteniamo un residuo: $int_(gamma)
P.S:ti prego di non insultarmi se ho detto qualche cavolata
... "gugo82":[/quote]
Ti interessa sapere come mai gli integrali reali sono legati a quelli complessi? Di solito ciò non si capisce bene per via delle "scorciatoie" che ormai imperano sui testi di Analisi Complessa per gli ingegneri/fisici.
Se è così, prova a leggere come si fa davvero un calcolo di integrale reale in campo complesso: ad esempio, potresti cominciare da qui, qui, qui e qui (miei vecchi post).
esatto. In particolare quello che mi sbalordisce è che se prendiamo come esempio: $int_0^(oo) 1/(1+x^2)dx=pi/2$ questa funzione è ovviamente integrabile anche utilizzando i metodi elementari, ma la cosa straordinaria è che se eseguiamo un integrale di linea di $f(x)|->f(z)$ (in campo complesso) si ha $int_(Gamma) 1/(1+z^2)dz=sum_k(int_(gamma_k) f(z)dz)=2piisum_kRes(f(z_k))|_(z=z_k)$,$z_k=i,-i$ che è esattamente il risultato dell'integrale improprio in ambito reale! Quindi il mio stupore deriva proprio dal fatto che nonostante stiamo integrando con tecniche diverse e su domini differenti(il primo è l'asse reale e il secondo circonferenze che racchiudono il punto singolare), alla fine il risultato non cambia.
Premetto che i post mi sono risultati davvero utilissimi per la comprensione della teoria. In particolare, correggimi se sbaglio, il lemma del grande cerchio e quello di Jordan poggiano sulla condizione ,necessaria e sufficiente, di convergenza, ad un valore nullo, dell'integrale definito sulla semicirconferenza (situata su uno dei due semipiani immaginari del campo complesso) di raggio $R_(∓)->∓oo$.In tal caso l'integrale sull'asse reale equivale al calcolo delle somme dei residui.
P.S purtroppo però mi sfugge ancora il perché i residui un'integrale di linea (chiuso) centrato sulle singolarità abbia legami così profondi con un integrale sull'asse reale (cioè danno lo stesso risultato).
Ho un nuovo dubbio (con la speranza che Gugo risponda)
Per quanto riguarda le funzioni che presentano singolarità sull'asse reale è sempre bene utilizzare il lemma del piccolo cerchio. In parole circoscritte ciò significa che il polo può essere escluso (o meglio evitato) dalla curva totale con un semicerchio di raggio $epsi->0$ centrato in $x_0$ ( tracciato o sul semipiano immaginario positivo o negativo a seconda della regione in cui è costruita la corona semicircolare). In particolare per un polo del primo ordine si ha $int_(gamma_(∓))f(z)dz=∓a_(-1)(itheta_2-itheta_1)|_0^(pi)$.
Esistono però altri artifici che ci permettono di sorvolare il punto singolare; come ad esempio quello di integrare, invece che su una circonferenza, su un rettangolo cosicché la singolarità dell'asse delle ascisse venga spostata un po' più in basso rispetto a quest'ultimo. In tal caso allora si ha $int_(C_+) f(z)/(z-x_0)dz= int_(-oo)^(x_0-epsi) f(x)/(x-x_0)dx+int_(x_0+epsi)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx+int_(gamma_+) f(z)/(z-x_0)dz=int_(-oo+iepsi)^(+oo+iepsi)f(z)/(z-x_0)dz=int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0+iepsi)dx$.
Qui arriva la parte che non ho capito!
Mi dice anzitutto che i primi due integrali a secondo membro vengono chiamati valor principale e si indicano complessivamente come $P int_(-oo)^(+oo) f(x)/(x-x_0)dx=lim_(epsi->0) [int_(-oo)^(x_0-epsi) f(x)/(x-x_0)dx+int_(x_0+epsi)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx$.
Da ora in posi seguo letteralmente il testo:
< vediamo ora di chiarire il significato della parte principale di un integrale. Se la funzione è regolare e tende a zero all'infinito, tale limite risulta ben definito. Presi singolarmente, i due integrali che entrano nella definizione di valor principale sono in generale divergenti (logaritmicamente), ma:
$int_(-oo)^(x_0-epsi) f(x)/(x-x_0)dx ~ f(x_0)ln(epsi)->_(epsi->0)oo$ e analogamente $int_(x_0+epsi)^(+oo) f(x)/(x-x_0)dx ~ -f(x_0)ln(epsi)->_(epsi->0) +oo$. Notiamo allora che le due divergenze si compensano.
Si può vedere questo nella seguente maniera: $int_(-oo)^(x_0-epsi)f(x)/(x-x_0)dx+int_(x_0+epsi)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx=int_(epsi)^(oo) (f(x_0+x)-f(x_0-x))/xdx$ e quest'ultimo non presenta singolarità nell'origine in quanto $lim_(x->0) (f(x+x_0)-f(x_0-x))/x=2f'(x_0)$. Si potrebbe quindi definire $P int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx=int_0^(oo)(f(x_0+x)-f(x_0-x))/xdx$.>
Domande:
1) Tutto questo discorso mi serve solo per capire in genere il valor principale è nullo perché le divergenze logaritmiche si compensano?
2)Un integrale il cui valor principale è non nullo converge ugualmente?
3)La precedente dimostrazione ha un risvolto pratico negli esercizi?
Grazie per l'attenzione
P.S purtroppo però mi sfugge ancora il perché i residui un'integrale di linea (chiuso) centrato sulle singolarità abbia legami così profondi con un integrale sull'asse reale (cioè danno lo stesso risultato).
Ho un nuovo dubbio (con la speranza che Gugo risponda)
Per quanto riguarda le funzioni che presentano singolarità sull'asse reale è sempre bene utilizzare il lemma del piccolo cerchio. In parole circoscritte ciò significa che il polo può essere escluso (o meglio evitato) dalla curva totale con un semicerchio di raggio $epsi->0$ centrato in $x_0$ ( tracciato o sul semipiano immaginario positivo o negativo a seconda della regione in cui è costruita la corona semicircolare). In particolare per un polo del primo ordine si ha $int_(gamma_(∓))f(z)dz=∓a_(-1)(itheta_2-itheta_1)|_0^(pi)$.
Esistono però altri artifici che ci permettono di sorvolare il punto singolare; come ad esempio quello di integrare, invece che su una circonferenza, su un rettangolo cosicché la singolarità dell'asse delle ascisse venga spostata un po' più in basso rispetto a quest'ultimo. In tal caso allora si ha $int_(C_+) f(z)/(z-x_0)dz= int_(-oo)^(x_0-epsi) f(x)/(x-x_0)dx+int_(x_0+epsi)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx+int_(gamma_+) f(z)/(z-x_0)dz=int_(-oo+iepsi)^(+oo+iepsi)f(z)/(z-x_0)dz=int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0+iepsi)dx$.
Qui arriva la parte che non ho capito!
Mi dice anzitutto che i primi due integrali a secondo membro vengono chiamati valor principale e si indicano complessivamente come $P int_(-oo)^(+oo) f(x)/(x-x_0)dx=lim_(epsi->0) [int_(-oo)^(x_0-epsi) f(x)/(x-x_0)dx+int_(x_0+epsi)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx$.
Da ora in posi seguo letteralmente il testo:
< vediamo ora di chiarire il significato della parte principale di un integrale. Se la funzione è regolare e tende a zero all'infinito, tale limite risulta ben definito. Presi singolarmente, i due integrali che entrano nella definizione di valor principale sono in generale divergenti (logaritmicamente), ma:
$int_(-oo)^(x_0-epsi) f(x)/(x-x_0)dx ~ f(x_0)ln(epsi)->_(epsi->0)oo$ e analogamente $int_(x_0+epsi)^(+oo) f(x)/(x-x_0)dx ~ -f(x_0)ln(epsi)->_(epsi->0) +oo$. Notiamo allora che le due divergenze si compensano.
Si può vedere questo nella seguente maniera: $int_(-oo)^(x_0-epsi)f(x)/(x-x_0)dx+int_(x_0+epsi)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx=int_(epsi)^(oo) (f(x_0+x)-f(x_0-x))/xdx$ e quest'ultimo non presenta singolarità nell'origine in quanto $lim_(x->0) (f(x+x_0)-f(x_0-x))/x=2f'(x_0)$. Si potrebbe quindi definire $P int_(-oo)^(+oo)f(x)/(x-x_0)dx=int_0^(oo)(f(x_0+x)-f(x_0-x))/xdx$.>
Domande:
1) Tutto questo discorso mi serve solo per capire in genere il valor principale è nullo perché le divergenze logaritmiche si compensano?
2)Un integrale il cui valor principale è non nullo converge ugualmente?
3)La precedente dimostrazione ha un risvolto pratico negli esercizi?
Grazie per l'attenzione
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