Duali di spazi uniformemente convessi

[otta96]

Domanda veloce: il duale di uno spazio di Banach uniformemente convesso è uniformemente convesso?
Vale l'inverso (cioè se il duale è uniformemente convesso, anche lo spazio è uniformemente convesso) ?

[Sk_Anonymous]

L'uniforme convessita' e' un proprieta' metrica, quindi fintanto che non la specifichi la tua domanda non ha granche' senso.
Contingentemente, ti avevo gia' risposto qui.

[otta96]

Beh, sullo spazio c'è una norma generica che comunque rende lo spazio completo e uniformemente convesso, sul duale c'è quella degli operatori.
Non ho capito perché la tua vecchia risposta risponde alla mia domanda.

[Sk_Anonymous]

"otta96":[...] Non ho capito perché la tua vecchia risposta risponde alla mia domanda.

Perche' non hai specificato la norma del duale.

La domanda "dato un \( (X, \| \cdot \|_X ) \) Banach unif. convesso, e' vero che \( (X', \| \cdot \|_{\text{op}} )\) e' unif. convesso?" e' interessante e non conosc(ev)o la risposta. Per Enflo ha dimostrato (Corollary 1, pag. 287) che se \( (X, \| \cdot \|_X ) \) e' unif. convesso, allora esiste un'altra norma \( \| \cdot \|_X ' \) equivalente alla prima tale che \( (X, \| \cdot \|_X ' ) \) e' uniformly smooth. Inoltre in Introduction to Banach Spaces and their geometry di Beauzamy la proposizione 2 a pagina 207 dice

"Beauzeamy":\(E\) is uniformly smooth if and only if \(E^*\) is uniformly convex

Quello che non capisco e che non ho ulteriormente approfondito e' il significato di "\(E^*\) is uniformly convex" - se significa "there exists a norm \( \| \cdot \|_{\text{op}}' \) equivalent to \( \| \cdot \|_{\text{op}} \) such that \( (E^*, \| \cdot \|_{\text{op}}' ) \) is uniformly convex" o "there exists a norm \( \| \cdot \|_{\text{op}}' \) (not necessarily equivalent to \( \| \cdot \|_{\text{op}} \)) such that \( (E^*, \| \cdot \|_{\text{op}}' ) \) is uniformly convex".

[otta96]

Grazie di questa bella risposta!

"Delirium":Per Enflo ha dimostrato (Corollary 1, pag. 287) che se \( (X, \| \cdot \|_X ) \) e' unif. convesso, allora esiste un'altra norma \( \| \cdot \|_X ' \) equivalente alla prima tale che \( (X, \| \cdot \|_X ' ) \) e' uniformly smooth. Inoltre in Introduction to Banach Spaces and their geometry di Beauzamy la proposizione 2 a pagina 207 dice [quote="Beauzeamy"]\(E\) is uniformly smooth if and only if \(E^*\) is uniformly convex

[/quote]
Quindi a meno di cambiamento di norme equivalenti è vero. Ma norme duali di norme equivalenti sono equivalenti? Però ancora non è chiaro se funziona senza cambiare norme.

Quello che non capisco e che non ho ulteriormente approfondito e' il significato di "\(E^*\) is uniformly convex" - se significa "there exists a norm \( \| \cdot \|_{\text{op}}' \) equivalent to \( \| \cdot \|_{\text{op}} \) such that \( (E^*, \| \cdot \|_{\text{op}}' ) \) is uniformly convex" o "there exists a norm \( \| \cdot \|_{\text{op}}' \) (not necessarily equivalent to \( \| \cdot \|_{\text{op}} \)) such that \( (E^*, \| \cdot \|_{\text{op}}' ) \) is uniformly convex".

Secondo me significa solamente che la norma duale è uniformemente convessa, se intendeva la prima che dici penso avrebbe scritto "uniformly convexificable", mentre la seconda non avrebbe senso.

[dissonance]

"otta96":
Ma norme duali di norme equivalenti sono equivalenti?

Si. Supponiamo che
\[
\frac1C\|f\|_1\le \|f\|_2\le C\|f\|_1.\]
Allora
\[
\|f'\|_{2'}=\sup_{f\ne 0} \frac{|\langle f', f\rangle|}{\|f\|_2}\le C\sup_{f\ne 0}\frac{|\langle f', f\rangle|}{\|f\|_1}=C\|f'\|_{1'}.\]
Lo stesso ragionamento mostra che
\[
\frac1C \|f'\|_{1'}\le \|f'\|_{2'}.\]