Duale di un sottospazio
Ciao a tutti! Ho un dubbio sul seguente teorema:
Siano $X$ uno spazio di Banach e $Y$ un suo sottospazio chiuso: allora $Y^\text{*}$ è isometrico in modo naturale a $X^\text{*}/(\text{Ann}(Y))$
Penso di aver capito la dimostrazione, ma non mi è chiaro perché la chiusura di $Y$ sia un'ipotesi necessaria. Provo a scrivere quello che ho pensato:
- la mappa di restrizione $i^\text{*}:X^\text{*} \rightarrow Y^\text{*}$ è sempre suriettiva e ogni elemento del codominio ha una controimmagine con la stessa norma: segue da Hahn-Banach, che non ha ipotesi sulla topologia;
- $\text{Ann}(Y)$ è sempre un sottospazio chiuso (e quindi è ben definita la norma sul quoziente): posso vederlo come intersezione degli annullatori dei singoli vettori di $Y$;
- $i^\text{*}$ si fattorizza sia come funzione continua sia come mappa lineare, e si ottiene una corrispondenza biunivoca che conserva norma (e quindi è un'isometria lineare): segue tutto da quanto detto in precedenza.
C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie in anticipo!
Siano $X$ uno spazio di Banach e $Y$ un suo sottospazio chiuso: allora $Y^\text{*}$ è isometrico in modo naturale a $X^\text{*}/(\text{Ann}(Y))$
Penso di aver capito la dimostrazione, ma non mi è chiaro perché la chiusura di $Y$ sia un'ipotesi necessaria. Provo a scrivere quello che ho pensato:
- la mappa di restrizione $i^\text{*}:X^\text{*} \rightarrow Y^\text{*}$ è sempre suriettiva e ogni elemento del codominio ha una controimmagine con la stessa norma: segue da Hahn-Banach, che non ha ipotesi sulla topologia;
- $\text{Ann}(Y)$ è sempre un sottospazio chiuso (e quindi è ben definita la norma sul quoziente): posso vederlo come intersezione degli annullatori dei singoli vettori di $Y$;
- $i^\text{*}$ si fattorizza sia come funzione continua sia come mappa lineare, e si ottiene una corrispondenza biunivoca che conserva norma (e quindi è un'isometria lineare): segue tutto da quanto detto in precedenza.
C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie in anticipo!
Risposte
Buh, io non so niente e ho letto solo due righe del post ma già ho una obiezione. Se "Ann" denota l'insieme dei funzionali lineari continui che si annullano su $Y$ allora $"Ann"(Y)="Ann"(\bar{Y})$.
Voglio dire che nella formula seguente il membro destro non cambia se si passa alla chiusura di \(Y\):
\[
Y^\star = X/\text{Ann}(Y)\]
In effetti non cambia neanche il membro sinistro, visto che \(Y^\star=\bar{Y}^\star\). Quindi la formula è vera a vuoto anche con un sottospazio non chiuso.
In ogni caso, visto che un sottospazio non chiuso non è neanche uno spazio di Banach, non mi sembra molto rilevante considerarne il duale. Mi pare una nozione che non serve proprio a niente, senza la completezza.
\[
Y^\star = X/\text{Ann}(Y)\]
In effetti non cambia neanche il membro sinistro, visto che \(Y^\star=\bar{Y}^\star\). Quindi la formula è vera a vuoto anche con un sottospazio non chiuso.
In ogni caso, visto che un sottospazio non chiuso non è neanche uno spazio di Banach, non mi sembra molto rilevante considerarne il duale. Mi pare una nozione che non serve proprio a niente, senza la completezza.
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