Dominio di olomorfia arcoseno iperbolico complesso

[matteo_MC]

Riesco ad ottenere l'espressione esplicita dell'arcoseno iperbolico a partire da quella del seno iperbolico
\[ \omega = \sinh(z) = \frac{e^{z}-e^{-z}}{2} \quad \rightarrow \quad z = \mbox{asinh}(\omega) = ln(\omega+\sqrt{\omega^2+1}) \]
ma alla richiesta di individuazione del dominio di olomorfia della funzione mi verrebbe da imporre

• sia che l'argomento della radice rispetti la regione di olomorfia della radice quadra complessa $ \mathbb{C}\quad\setminus \quad {x\le0} $,
\[ \omega^2+1\ne-\tau \quad,\quad \tau\in(0,+\infty) \]
ottenendo che $ \omega $ non possa appartenere alle semirette \( (+i,+i\infty) \) e \( (-i\infty,-i) \)

• sia che l'argomento del logaritmo rispetti la regione di olomorfia del logaritmo complesso
\[ \omega +\sqrt{\omega^2+1}\ne -\tau \quad, \quad \tau\in[0,+\infty] \]
ed è in questo punto che mi blocco.

Vorrei capire innanzitutto se sto procedendo in maniera corretta, ed eventualmente sapere cosa si ottiene dal vincolo imposto dal logaritmo; è da poco che ho approcciato l'analisi complessa e ho ancora abbastanza confusione.

[Noodles1]

In linea generale, i punti di diramazione al finito sono quelli in cui si annulla il radicando della radice:

$[\omega^2+1 ne 0] rarr [\omega ne +-i]$

e quelli in cui si annulla l'argomento del logaritmo:

$[\omega+sqrt(\omega^2+1) ne 0] rarr [AA \omega in CC]$

[matteo_MC]

Oltre ai punti di diramazione, ogni ramo del logaritmo complesso non è per caso definito su tutto il piano complesso \( \mathbb{C} \) fatta eccezione per i punti giacenti su una semiretta collegante proprio i due punti di diramazione \( 0 \) e \( \infty \) (che per comodità viene solitamente fatta coincidere con il semiasse reale negativo) ?
Se sì, non dovrei tenerne conto quando ho a che fare con una funzione definibile mediante il logaritmo complesso (come l'arcoseno iperbolico) ?

[Noodles1]

Puoi dare un'occhiata a pagina 76 della risorsa sottostante:

https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... o/34468112

Anche se si considera la funzione inversa del seno, le argomentazioni sono sostanzialmente le stesse. In sintesi, scelta la determinazione principale del logaritmo, gli unici punti di diramazione sono quelli dovuti alla presenza della radice.

[matteo_MC]

Probabilmente sono io che ostento a non capire, ma quando parli di "scegliere la determinazione principale del logaritmo", non è per caso proprio in questo passaggio che andrebbe imposto un vincolo sull'argomento del logaritmo dovuto al fatto che, indipendentemente dal ramo che ne scelgo, esiste un taglio sul suo dominio di definizione?
Oppure mi stai dicendo che il dominio di olomorfia del logaritmo si estende anche lungo il suo "branch cut" in cui esso è discontinuo (come lo è ogni altra funzione polidroma nel rispettivo branch cut per definizione di quest'ultimo, se non vado errato) ?
In riferimento alla fonte che hai linkato, il procedimento che avevo deciso di seguire per determinare il dominio di olomorfia dell'arcoseno iperbolico (e che ho espresso nel primo messaggio) si rifà proprio a quanto esposto sulle ultime tre righe di pagina 76: nel momento in cui se ne determina un ramo monodromo si scelgono i rami principali della radice e del logaritmo.
Seguendo lo stesso principio e applicandolo alla funzione \( \mbox{asinh}(z) \) mi ritrovo quella disequazione (di cui al primo messaggio) sulla quale mi blocco, perché sembra escludere tutto l'asse reale. Non capisco se il problema ricade sul procedimento di determinazione del dominio di olomorfia di una funzione complessa o sulla corretta risoluzione della disequazione.

[Noodles1]

"c.s.e.c.":
... mi ritrovo quella disequazione (di cui al primo messaggio) sulla quale mi blocco ...

Anche se non si tratta di una disequazione, immagino che tu intenda questa:

\[ \omega +\sqrt{\omega^2+1}\ne -\tau \quad, \quad \tau\in[0,+\infty] \]
Inoltre, se ho capito bene, sei esclusivamente interessato a ripetere le argomentazioni di quella risorsa nel caso della funzione inversa del seno iperbolico. Se così fosse non sarebbe nemmeno necessario scomodare i fogli della superficie di Riemann.

[matteo_MC]

Non mi rendo conto cosa sia necessario scomodare, ed è proprio per questo che ho postato il mio dubbio.
Ho specificato di aver cominciato ad affrontare questi argomenti da poco e di non averli ancora chiari.
Ho chiesto se il procedimento fosse concettualmente corretto, e in caso affermativo quale fosse l'implicazione di un'espressione di questo tipo
\[ \omega +\sqrt{\omega^2+1}\ne -\tau \quad, \quad \tau\in[0,+\infty] \]
ma non mi sembra di aver avuto ancora risposta a nessuna delle due domande.
Ho accennato i branch cut poiché non vedo come una funzione possa essere olomorfa ove è discontinua.

[Noodles1]

"c.s.e.c.":
... sulla quale mi blocco perchè sembra escludere tutto l'asse reale.

Se il problema era solo quello citato, bada bene che, considerando il ramo principale della radice, per ogni:

$\tau gt= 0$

non esiste:

$\omega in CC$

tale che:

$\omega+sqrt(\omega^2+1)=-\tau$

Insomma, escludendo il caso banale:

$\tau=0$

temo che tu abbia risolto:

$\omega+sqrt(\omega^2+1)=-\tau rarr$

$rarr sqrt(\omega^2+1)=-\omega-\tau rarr$

$rarr \omega^2+1=\omega^2+\tau^2+2\tau\omega rarr$

$rarr \omega=(-\tau^2+1)/(2\tau)$

senza fare la verifica:

$(-\tau^2+1)/(2\tau)+sqrt((-\tau^2+1)^2/(4\tau^2)+1)=-\tau rarr$

$rarr (-\tau^2+1)/(2\tau)+sqrt((\tau^2+1)^2/(4\tau^2))=-\tau rarr$

$rarr (-\tau^2+1)/(2\tau)+(\tau^2+1)/(2\tau)=-\tau rarr$

$rarr 1/\tau=-\tau rarr$

$rarr \tau^2+1=0$

Ho solo riproposto, in modo leggermente diverso, le argomentazioni relative alla funzione inversa del seno.

[matteo_MC]

Grazie per il chiarimento, era l'errore che stavo commettendo.