Domande su operatori compatti
Buonasera,
mi stavo esercitando a rispondere alle seguenti domande e vorrei sapere se le mie risposte hanno senso:
Sia $X$ uno spazio di Banach riflessivo infinito dimensionale e sia $\mathcal{K}(X)$ l'insieme degli operatori compatti da $X$ in sé. Sia $K \in \mathcal{K}(X)$
1. $K$ può essere una biiezione?
Secondo me no, per il teorema della mappa aperta, se lo fosse, avrei che, essendo suriettivo, mappa aperti in aperti. Ma questo è assurdo perché allora la palla unitaria aperta sarebbe mappata in un qualche aperto precompatto cosa che non può esistere in uno spazio infinito dimensionale (conterebbe una palla la cui chiusura sarebbe compatta ma questo non è possibile).
2. Se $K$ è iniettivo, può avere immagine finito dimensionale?
Secondo me no, se così fosse avrei una biiezione tra $X$ e uno spazio normato finito dimensionale il che non è possibile.
3. Sia $T \in \mathcal{K}(X)$, la composizione $TK$ è compatta?
Direi di si: sia $A \subset X$ limitato allora $KA$ è precompatto e dunque limitato e quindi $(TK)(A) = T(KA)$ è precompatto.
mi stavo esercitando a rispondere alle seguenti domande e vorrei sapere se le mie risposte hanno senso:
Sia $X$ uno spazio di Banach riflessivo infinito dimensionale e sia $\mathcal{K}(X)$ l'insieme degli operatori compatti da $X$ in sé. Sia $K \in \mathcal{K}(X)$
1. $K$ può essere una biiezione?
Secondo me no, per il teorema della mappa aperta, se lo fosse, avrei che, essendo suriettivo, mappa aperti in aperti. Ma questo è assurdo perché allora la palla unitaria aperta sarebbe mappata in un qualche aperto precompatto cosa che non può esistere in uno spazio infinito dimensionale (conterebbe una palla la cui chiusura sarebbe compatta ma questo non è possibile).
2. Se $K$ è iniettivo, può avere immagine finito dimensionale?
Secondo me no, se così fosse avrei una biiezione tra $X$ e uno spazio normato finito dimensionale il che non è possibile.
3. Sia $T \in \mathcal{K}(X)$, la composizione $TK$ è compatta?
Direi di si: sia $A \subset X$ limitato allora $KA$ è precompatto e dunque limitato e quindi $(TK)(A) = T(KA)$ è precompatto.
Risposte
MI sembra tutto giusto.
Bene! Grazie mille!
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