Divisione di due serie di potenze
Salve a tutti, ho un problema con la dimostrazione della tangente come divisione di seno con coseno sotto forma di serie di potenze. Dal libro non riesco a capire qual è il metodo che utilizza, e con la normale divisione di polinomi non mi trovo. Potete aiutarmi?
Risposte
Non si capisce cosa vuoi fare.
Spiega meglio.
Spiega meglio.
$ tan x=sin x/cos x=(x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+ ...)/(1-x^2/(2!)+x^4/(4!)+...) $
come faccio a fare questa divisione?
Con il metodo della divisione tra polinomi non mi trovo.
come faccio a fare questa divisione?
Con il metodo della divisione tra polinomi non mi trovo.
Immagino (pur non essendo sicuro, perché, come al solito, non spieghi decentemente cosa vuoi fare) che tu voglia ricavare l’espansione in serie di MacLaurin di $tan x$ sfruttando le espansioni in serie di $sin x$ e $cos x$ e qualche regola algebrica per “svolgere la divisione” tra serie di potenze.
Giusto?
Che dice il testo?
C’è un paragrafo in merito?
L’unico testo su cui ho visto trattare la questione è il Cartan Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, cap. 1.
Giusto?
Che dice il testo?
C’è un paragrafo in merito?
L’unico testo su cui ho visto trattare la questione è il Cartan Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, cap. 1.
Si esattamente. Il testo non dà un vero e proprio procedimento per risolvere la cosa, fa semplicemente vedere i passaggi per arrivare alla soluzione. Pensavo ci fosse un qualche metodo generale per risolvere la divisione, ma ad intuito credo di essere arrivato alla soluzione.
Una divisione non si “risolve”, al massimo si svolge.
Il metodo c’è ma è bruttino assai.
Nota che $1/(cos x) = 1/( 1 - (1 - cos x)) = sum_(n = 0)^oo (1 - cos x)^n$; visto che $1 - cos x = sum_(k=1)^oo (-1)^(k+1)/((2k)!) x ^(2k)$, puoi sostituire e scrivere:
$1/(cos x) = sum_(n = 0)^oo (sum_(k=1)^oo (-1)^(k+1)/((2k)!) x ^(2k))^n$
che, sviluppando le potenze $n$-esime con criterio, ti porta ad ottenere i coefficienti dello sviluppo in serie di $1/(cos x)$.
Dopodiché, bisogna svolgere il prodotto secondo Cauchy delle due serie di $sin x$ ed $1/(cos x)$…
Questo metodo è essenzialmente inutile ai fini pratici.
Il metodo c’è ma è bruttino assai.
Nota che $1/(cos x) = 1/( 1 - (1 - cos x)) = sum_(n = 0)^oo (1 - cos x)^n$; visto che $1 - cos x = sum_(k=1)^oo (-1)^(k+1)/((2k)!) x ^(2k)$, puoi sostituire e scrivere:
$1/(cos x) = sum_(n = 0)^oo (sum_(k=1)^oo (-1)^(k+1)/((2k)!) x ^(2k))^n$
che, sviluppando le potenze $n$-esime con criterio, ti porta ad ottenere i coefficienti dello sviluppo in serie di $1/(cos x)$.
Dopodiché, bisogna svolgere il prodotto secondo Cauchy delle due serie di $sin x$ ed $1/(cos x)$…
Questo metodo è essenzialmente inutile ai fini pratici.
Molto contorto. Provo a trovare un filo logico nella divisione così da non incasinarmi troppo le idee, ma grazie mille per l'aiuto.
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