Distanza in uno spazio $ L^p$
Salve,oggi,vi chiedo aiuto per riuscire a capire un particolare che non mi è molto chiaro:"come calcolo $d(x,y)$(dove d è la distanza) in uno spazio $L^p$".
Mi spiego meglio,come si sa nel caso di calcolare la p-norma di una funzione a una variabile si usa la seguente formula:
\( ||f(x)||_p=(\int|f(x)|^pdx)^{p^{-1}} \) ,
il problema sorge quando ho un funzione a più variabili,come quella di distanza.Se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
Mi spiego meglio,come si sa nel caso di calcolare la p-norma di una funzione a una variabile si usa la seguente formula:
\( ||f(x)||_p=(\int|f(x)|^pdx)^{p^{-1}} \) ,
il problema sorge quando ho un funzione a più variabili,come quella di distanza.Se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
Risposte
La norma induce in generale una distanza. Nel tuo caso \[d_p (f,g) = \|f- g \|_{L^p}\]è una distanza. Ma non sono sicuro che questo risponda alla tua domanda.
Grazie per aver risposto,io in realtà mi stavo chiedendo se \( d_p(f(x),g(y)) \) (dove $f(x)=x$ e $g(y)=y$) si potesse esprimere "sotto forma di integrale",se non ti dispiace potresti rispondere a questo dubbio?
Sorvolando sul probabile abuso di notazione, non capisco né chi siano i domini di \(f\) e \(g\) né di che \(L^p\) stiamo parlando (\(L^p(\mathbb{R}^n)\)? \(L^p(\mathbb{R}^{2n})\)?)...
Grazie per la risposta.
Il dominio di $f$ e $g$ è $L^p(R^n)$
comunque,perchè sarebbe abuso di notazione?
Se non sbaglio è proprio con l'integrale che si denotano le norme in uno spazio $L^p$
Il dominio di $f$ e $g$ è $L^p(R^n)$
comunque,perchè sarebbe abuso di notazione?
Se non sbaglio è proprio con l'integrale che si denotano le norme in uno spazio $L^p$
"mklplo":
[...] Il dominio di $f$ e $g$ è $L^p(R^n)$ [...]
No, il dominio di \(f\) e \(g\) è tutt'al più \(\mathbb{R}^n\), non \(L^p (\mathbb{R}^n)\) (a meno di considerare dei funzionali, ma non è questo il caso). Assumiamo per un attimo che \(f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\), altrimenti le cose virano pericolosamente verso il nonsenso (in generale le funzioni in \(L^p\) sono a valori scalari, ma non vedo ostacoli nel "ridefinire" gli \(L^p\) per funzioni a valori vettoriali). In tal caso le due funzioni \(f\) e \(g\), per come le hai definite tu, sono identiche, i.e. sono l'identità. Allora ovviamente \[ \|f-g\|_{L^p (\mathbb{R}^n)} =0. \]
Grazie,sto incominciando a capire ma io intendevo di prendere due funzioni che dipendono da due variabili diverse,quello era il punto.
Sì ma nel tuo caso le variabili sono "mute". Capisci che se \(f, g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) e \(f(x)=x\), \(g(y)=y\), allora \(f \equiv g\). Stai semplicemente etichettando i punti in maniera diversa, ma la sostanza, la "legge", non cambia: ambedue le funzioni fanno la stessa cosa.
giusto,non ci avevo proprio pensato,grazie.
"Delirium":
Sì ma nel tuo caso le variabili sono "mute". Capisci che se \(f, g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) e \(f(x)=x\), \(g(y)=y\), allora \(f \equiv g\). Stai semplicemente etichettando i punti in maniera diversa, ma la sostanza, la "legge", non cambia: ambedue le funzioni fanno la stessa cosa.
Credo che mklplo volesse dire \(f(x,y) = x\) e \(g(x,y) = y\).
In ogni caso, @mklplo: è chiaro che tu non abbia capito una mazza dei simboli che scrivi. Dici di aver studiato anni e di capire e ricordare le cose dopo averle lette una sola volta, ma la verità è che scrivi cose insensate e ridicole, stai sprecando un mucchio di tempo e lo stai facendo perdere a chi cerca di aiutarti.
@Raptorista
Per ricordare e capire intendo le materie al livello del liceo e non quelle universitarie.Per quanto riguarda la matematica universitaria,ho studiato da tempo,ma come sembra di aver fatto capire,non l'ho mai studiata nel modo adeguato,ma solo su dispense,quindi è più che ovvio che abbia dei problemi con le notazioni.E infine dirmi che sto sprecando un mucchio di tempo,implica che non abbia capito proprio niente,ma dato che alcuni miglioramenti,nel corso del tempo li ho avuti,l'affermazione risulti inesatta.
Per ricordare e capire intendo le materie al livello del liceo e non quelle universitarie.Per quanto riguarda la matematica universitaria,ho studiato da tempo,ma come sembra di aver fatto capire,non l'ho mai studiata nel modo adeguato,ma solo su dispense,quindi è più che ovvio che abbia dei problemi con le notazioni.E infine dirmi che sto sprecando un mucchio di tempo,implica che non abbia capito proprio niente,ma dato che alcuni miglioramenti,nel corso del tempo li ho avuti,l'affermazione risulti inesatta.
"mklplo":
Per quanto riguarda la matematica universitaria,ho studiato da tempo,ma come sembra di aver fatto capire,non l'ho mai studiata nel modo adeguato
Questo è tempo perso.
"mklplo":
,ma solo su dispense,quindi è più che ovvio che abbia dei problemi con le notazioni.
Questa implicazione è falsa, e comunque tu hai problemi molto più gravi che di notazioni.
"mklplo":
E infine dirmi che sto sprecando un mucchio di tempo,implica che non abbia capito proprio niente,
Anche questa implicazione è falsa.
"mklplo":
ma dato che alcuni miglioramenti,nel corso del tempo li ho avuti.
Io non so del tuo livello precedente, ma su questo forum in poco tempo hai prodotto una quantità non indifferente di strafalcioni eclatanti, che non vado a cercare solo perché ho di meglio da fare.
Non ti sto attaccando per il gusto di farlo: in un certo senso mi piace la tua intraprendenza e voglia di fare, ma ti stai buttando su roba molto avanzata quando con ogni probabilità non passeresti nemmeno un appello di analisi 1, e mi dispiace vedere tutte queste energie sprecate. Lo dico per te, l'abbiamo già detto in diversi in questo forum: il tuo tempo è sprecato, anche se a fine giornata sai ricopiare a memoria la definizione di variazione totale o di norma \(L^p\), perché tanto non ti serve a niente.
"Raptorista":
... in un certo senso mi piace la tua intraprendenza ...
Concordo. Tuttavia, io sono a dir poco sbalordito dalla tua assurda ostinazione.
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