Dimostrazione uniforme continuità della \(\displaystyle \mathcal{F}\)-trasformata
Buonasera, sto preparando l'orale di analisi 3 e non mi è molto chiara la dimostrazione riguardo l'uniforme continuità su \(\displaystyle \mathbb{R} \) della trasformata di Fourier. Penso che il libro salti alcuni passaggi ma non riesco ad intuirli..
La dimostrazione inizia con : Sia \(\displaystyle h \in \mathbb{R} \) e fissiamo \(\displaystyle \epsilon,R>0 \) tali che :
allora :
e fin qui tutto ok. Adesso divide l'integrale su \(\displaystyle \mathbb{R} \) negli intervalli \(\displaystyle |x|\leq R \) e \(\displaystyle |x|> R \) in questo modo :
ma quali sono le considerazioni che stanno in mezzo? Dopodichè scrive :
e conclude con un "da qui la tesi". Penso di aver capito il perchè conduce la dimostrazione in quel modo, infatti fa vedere come la distanza tra le due trasformate di \(\displaystyle f(x) \) (vicine tra loro a distanza di un \(\displaystyle h \) "piccolo a piacere") si possa rendere piccola (e quindi la tesi segue dalla definizione di funzione uniformemente continua). Però ci sono dei passaggi mancanti..non c'è magari una dimostrazione più semplice? o perlomeno più chiara?
La dimostrazione inizia con : Sia \(\displaystyle h \in \mathbb{R} \) e fissiamo \(\displaystyle \epsilon,R>0 \) tali che :
\(\displaystyle \int_{|x|>R} |f(x)|\;dx < \epsilon \)
allora :
\(\displaystyle \left|\int_{\mathbb{R}} f(x)\;e^{-2\pi\;i x (\epsilon+h)} \;dx - \int_{\mathbb{R}} f(x)\;e^{-2\pi\;i x\epsilon} \;dx \right| = \left|\int_{\mathbb{R}} e^{-2\pi\;ix\epsilon} \left(e^{-2\pi\;ixh}-1\right) \;f(x) dx \right|\)
\(\displaystyle \leq \int_{\mathbb{R}} |e^{-2\pi\;ix\epsilon}|\;\cdot\; |e^{-2\pi\;ixh}-1|\;\cdot \;|f(x)| dx \)
e fin qui tutto ok. Adesso divide l'integrale su \(\displaystyle \mathbb{R} \) negli intervalli \(\displaystyle |x|\leq R \) e \(\displaystyle |x|> R \) in questo modo :
\(\displaystyle ... = \int_{|x|\leq R} |e^{-2\pi\;ixh}-1|\;|f(x)| dx + 2 \;\int_{|x|> R} |f(x)| dx\)
ma quali sono le considerazioni che stanno in mezzo? Dopodichè scrive :
\(\displaystyle ... \leq 2\pi|h|\;\int_{|x|\leq R} |x \;f(x)|\;dx + 2\epsilon \)
e conclude con un "da qui la tesi". Penso di aver capito il perchè conduce la dimostrazione in quel modo, infatti fa vedere come la distanza tra le due trasformate di \(\displaystyle f(x) \) (vicine tra loro a distanza di un \(\displaystyle h \) "piccolo a piacere") si possa rendere piccola (e quindi la tesi segue dalla definizione di funzione uniformemente continua). Però ci sono dei passaggi mancanti..non c'è magari una dimostrazione più semplice? o perlomeno più chiara?
Risposte
L'unico passaggio mancante sono le disuguaglianze \(|e^{-2\pi ixh}-1|\le 2\) (banale) e \(|e^{-2\pi i x h}-1|\le 2\pi |x||h|\). La seconda è leggermente meno banale, si dimostra scrivendo
\[
e^{i\theta}-1=\int_0^\theta ie^{i\phi}\, d\phi\]
e poi stimando \(\left\lvert \int_0^\theta ie^{i\phi}\,d\phi\right\rvert \le |\theta|\), con \(\theta=2\pi xh\).
Ti serve spezzare l'integrale in due perché il fattore \(x\) che ti viene fuori dall'uso della seconda disuguaglianza diventa molto grande all'infinito e finisce col darti fastidio. Tuttavia, all'infinito la funzione è "piccola" in senso integrale, ed è proprio sfruttando questa ultima osservazione che riesci a risolvere.
Questa è una dimostrazione semplice ma illustrativa, secondo me vale la pena che tu la impari bene. (IMHO)
\[
e^{i\theta}-1=\int_0^\theta ie^{i\phi}\, d\phi\]
e poi stimando \(\left\lvert \int_0^\theta ie^{i\phi}\,d\phi\right\rvert \le |\theta|\), con \(\theta=2\pi xh\).
Ti serve spezzare l'integrale in due perché il fattore \(x\) che ti viene fuori dall'uso della seconda disuguaglianza diventa molto grande all'infinito e finisce col darti fastidio. Tuttavia, all'infinito la funzione è "piccola" in senso integrale, ed è proprio sfruttando questa ultima osservazione che riesci a risolvere.
Questa è una dimostrazione semplice ma illustrativa, secondo me vale la pena che tu la impari bene. (IMHO)
Grazie per la risposta, la seconda parte l'ho capita e riesco ad ottenere la minorazione senza scrivere quella notazione con l'integrale usata da te. Faccio così :
inoltre :
quindi riprendendo l'integrale prima dello split si avrebbe :
però così mi sono perso un pezzo per strada..non so, magari anche così è corretto oppure ho sbagliato in qualche passaggio?
\(\displaystyle \left|e^{-2\pi\;i\;xh}-1\right| = \left|e^{-i\pi\;xh}\;(e^{-i\pi\;xh}-e^{i\pi\;xh})\right| = \left|2i \; e^{-i\pi\;xh} \;sen(xh)\right| \leq 2\pi|xh| \)
inoltre :
\(\displaystyle |e^{-2\pi\;i\;x\epsilon}| = |cos(2\pi x \epsilon) - i\;sen(2\pi x \epsilon)| = \sqrt{cos^2(2 \pi x \epsilon) + sen^2(2 \pi x \epsilon)} = 1 \)
quindi riprendendo l'integrale prima dello split si avrebbe :
\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} |e^{-2\pi\;i\;x\epsilon}|\; |e^{-2\pi\;i\;xh}-1| \; |f(x)|\;dx \leq 2 \pi |h|\; \int_{\mathbb{R}} |x\;f(x)| \;dx\)
però così mi sono perso un pezzo per strada..non so, magari anche così è corretto oppure ho sbagliato in qualche passaggio?
A questo punto come tratti $\int_{\RR} |x f(x) | \text{d} x$ ?
Nei conti che hai svolto sfrutti una maggiorazione su tutto $\RR$ che non è quella migliore. Infatti sull'insieme $\{ |x| > R \}$ il pezzo $|e^{- 2 \pi i h x} - 1|$ si maggiora meglio con $2$ anziché con $2 \pi |x h|$ (come diceva Dissonance). Quindi risulta naturale spezzare l'integrale sulla partizione di $\RR$ determinata dal numero $R = R(\epsilon)$.
Nei conti che hai svolto sfrutti una maggiorazione su tutto $\RR$ che non è quella migliore. Infatti sull'insieme $\{ |x| > R \}$ il pezzo $|e^{- 2 \pi i h x} - 1|$ si maggiora meglio con $2$ anziché con $2 \pi |x h|$ (come diceva Dissonance). Quindi risulta naturale spezzare l'integrale sulla partizione di $\RR$ determinata dal numero $R = R(\epsilon)$.
Grazie mille per la risposta, l'esame l'ho fatto ieri mattina e mi ha chiesto proprio questa dimostrazione (tra le altre). Fortunatamente grazie ai vostri interventi sono riuscito a rispondere bene e l'esame l'ho passato con successo!! Grazie mille ancora!
Bravo!
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