Dimostrazione \(\displaystyle (\ell ^\infty\) $,\norm{\cdot}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}\)$)$ è di Banach
Salve a tutti
Ho un dubbio sulla dimostrazione di questo fatto.
Con \(\displaystyle\ell^\infty\) intendo lo spazio delle successioni limitate in $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ dove $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ( o $\mathbb{C}$).
Dim: sia $(x^{(k)})_k \subset$ \(\displaystyle\ell^\infty\) una successione di Cauchy rispetto $\norm{\cdot}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}\) (dove $\norm{x}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}:=\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n|\)).
vale che:
se $\forall \epsilon>0 \exists \nu=\nu(\epsilon)\in \mathbb{N}$ tale che $\norm{x^{k}-x^{m}}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}\)$\leq \epsilon$ $\forall k,m\geq \nu$, e dunque, per la definizione della norma:
$\forall \epsilon>0 \exists \nu=\nu(\epsilon)\in \mathbb{N}$ tale che \(\displaystyle \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n^{k}-x_n^{m}|\leq \epsilon\) $\forall k,m\geq \nu$.
Dunque per ogni $n\in\mathbb{N}$ fissato, la successione $(x_n^{(k)})_k\subset \mathbb{K}$ è di Cauchy in $\mathbb{K}$ (completo), dunque converge ad un certo $\bar{x}_n\in \mathbb{K}$. Ora io posso costruire la successione $\bar{x}:=(\bar{x}_n)_n$ che A PRIORI vive in $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$.
La mia domanda inizia proprio da qui! Se riuscissi a dimostrare che $\bar{x}\in$\(\displaystyle \ell^{\infty}\) perchè dovrei poi dimostrare che $\norm{x^(k)-\bar{x}}$\(\displaystyle _{\ell^{\infty}}\) converge a $0$ per $k$ che tende a infinito, prima di poter dire finalmente che \(\displaystyle {\ell^{\infty}}\) è di Banach?Non è scontato? Sembra di no, ma perchè? Evidentemente costruire semplicemente $\bar{x}$ e dire che sta in \(\displaystyle {\ell^{\infty}}\) NON BASTA. Cosa potrebbe mai andare storto? mi fate qualche esempio per favore?
Grazie in anticipo
Ho un dubbio sulla dimostrazione di questo fatto.
Con \(\displaystyle\ell^\infty\) intendo lo spazio delle successioni limitate in $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ dove $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ( o $\mathbb{C}$).
Dim: sia $(x^{(k)})_k \subset$ \(\displaystyle\ell^\infty\) una successione di Cauchy rispetto $\norm{\cdot}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}\) (dove $\norm{x}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}:=\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n|\)).
vale che:
se $\forall \epsilon>0 \exists \nu=\nu(\epsilon)\in \mathbb{N}$ tale che $\norm{x^{k}-x^{m}}$\(\displaystyle_{\ell^\infty}\)$\leq \epsilon$ $\forall k,m\geq \nu$, e dunque, per la definizione della norma:
$\forall \epsilon>0 \exists \nu=\nu(\epsilon)\in \mathbb{N}$ tale che \(\displaystyle \sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n^{k}-x_n^{m}|\leq \epsilon\) $\forall k,m\geq \nu$.
Dunque per ogni $n\in\mathbb{N}$ fissato, la successione $(x_n^{(k)})_k\subset \mathbb{K}$ è di Cauchy in $\mathbb{K}$ (completo), dunque converge ad un certo $\bar{x}_n\in \mathbb{K}$. Ora io posso costruire la successione $\bar{x}:=(\bar{x}_n)_n$ che A PRIORI vive in $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$.
La mia domanda inizia proprio da qui! Se riuscissi a dimostrare che $\bar{x}\in$\(\displaystyle \ell^{\infty}\) perchè dovrei poi dimostrare che $\norm{x^(k)-\bar{x}}$\(\displaystyle _{\ell^{\infty}}\) converge a $0$ per $k$ che tende a infinito, prima di poter dire finalmente che \(\displaystyle {\ell^{\infty}}\) è di Banach?Non è scontato? Sembra di no, ma perchè? Evidentemente costruire semplicemente $\bar{x}$ e dire che sta in \(\displaystyle {\ell^{\infty}}\) NON BASTA. Cosa potrebbe mai andare storto? mi fate qualche esempio per favore?
Grazie in anticipo
Risposte
Se dimostri che $||bar(x)-x^k||$ tende a zero puoi dedurre che $bar(x)$ è limitata facendo
$||bar(x)|| = ||bar(x)-x^k+x^k|| le ||bar(x)-x^k||+||x^k||$
e mandando $k to oo$.
$||bar(x)|| = ||bar(x)-x^k+x^k|| le ||bar(x)-x^k||+||x^k||$
e mandando $k to oo$.
Grazie per la risposta, ma una volta che so che $\bar{x}$ è limitata perchè non ho ancora finito la dimostrazione e rimane da dimostrare che \(\displaystyle||x^{(k)}-\bar{x}||_{\ell^{\infty}}\) è infinitesima?
Beh perché devi mostrare che $x^k$ converge a $bar(x)$. Hai cominciato prendendo una successione di Cauchy, devi mostrare che converge.
A me sembra più una verifica che una dimostrazione. E' quello che mi crea il dubbio. Come potrebbe mai non convergere? Non mi vengono controesempi
Non esistono controesempi, perché è vero. Ma il punto è che affermare che una cosa è vera non basta, bisogna dimostrarlo.
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