Dimostrazione con errore!
A corso il prof ci ha dato una dimostrazione falsa del seguente teorema lasciandoci come esercizio di trovare l'errore, ora siccome non trovo nessun errore e siccome lui sostiene sempre che un buon matematico dev'essere diffidente sto iniziando a pensare che non ci sia nessun errore 
Voi riuscite a trovare un errore? Io proprio no, e se lo trovate non ditemelo perfavore ma magari indicatemi solo la "zona" di dov'è situato.
Sia \( - \infty \leq a < b \leq + \infty \) e \( 1 \leq p \leq + \infty \) allora
i) \( (L^p(a,b), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p}) \) è completo
ii) Se \( f_n \xrightarrow{L^p} f \) tale che esiste \( (f_{n_k})_k \subseteq (f_n)_n \) tale che \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque. In particolare se \( p = + \infty \) allora è la successione intera che converge puntualmente.
L'errore si trova nella dimostrazione del caso 1 ovvero considera \( 1 \leq p < + \infty \)
Non dimostrazione:
Caso 1:
i) Sia \( (f_n)_n \) una successione di Cauchy in \( L^p \).
Step 1.1 Costruzione della sotto-successione.
Utilizzando la definizione di successione di Cauchy abbiamo che per \( k \in \mathbb{N} \) esiste \(N_k \in \mathbb{N}\) tale che \( \forall n,m \geq N_k \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f_m \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
Costruiamo \((n_k)_k \) per ricorrenza: \( n_1 = N_1 \) e \(n_{k+1} = \max(N_{k+1},n_k +1 ) \)
in questo modo è garantito che \( \forall k \in \mathbb{N} \) risulta che \( n_{k+1} \geq N_k +1 \geq N_k \) e contemporaneamente \( n_k \geq N_k \) dunque
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
Step 1.2 Costruzione del limite
Siano \( g,g_j : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \cup \{ + \infty \} \) definite per
\[ g_j(x) = \sum\limits_{k=1}^{j} \left| f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) \right| \] e
\[ g(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left| f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) \right| \]
Facciamo notare che la forma \( \infty - \infty \) può apparire solo su un insieme di misura nulla e dunque possiamo cambiare rappresentante della successione dentro \( L^p \) e cambiarla su un insieme di misura nulla.
Abbiamo allora che per Minkowski
\[ \begin{Vmatrix} g_j \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \sum\limits_{k=1}^{j} \begin{Vmatrix} f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \sum\limits_{k=1}^{j} \frac{1}{2^k} \leq 1 \]
In più abbiamo che \( g_j \uparrow g \) e dunque per crescenza e continuità di \( t \mapsto t^p \) abbiamo che \( g_j^p \uparrow g^p \)
Inoltre per il teorema della convergenza monotona abbiamo che
\[ \int g^p = \int \lim_{j \to \infty } g_j^p = \lim_{j \to \infty} \int g_j^p \leq 1 < + \infty \]
Pertanto \( g^p \in L^1 \) e dunque \( g^p < +\infty \) quasi ovunque il quale implica che \( g < +\infty \) quasi ovunque.
Sia dunque \( N := \{ x \in \mathbb{R} : g(x) =+ \infty \} \) con \( \operatorname{mes}(N) = 0 \) allora per ogni \( x \in \mathbb{R} \setminus N \) abbiamo che la serie
\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) \]
converge assolutamente e dunque converge.
Poniamo dunque \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\[ f (x) = \left\{\begin{matrix}
f_{n_1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) & \text{se} & x \in \mathbb{R} \setminus N \\
& & \\
\text{un valore arbitrario, altrimenti} & &
\end{matrix}\right. \]
Notiamo che essendo \( \sum\limits_{k=1}^{j} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) \) una somma telescopica allora
\[ f_{n_k} = f_{n_1} +\sum\limits_{k=1}^{k-1} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) = f_{n_1} +f_{n_{k}} - f_{n_1} \]
E pertanto \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque.
Step 1.3 Dimostriamo che \( f \in L^p \) e che \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} f \)
Abbiamo che \( \left| f \right|^p \leq ( \left| f_{n_1} \right| + g )^p \) e pervia che \( L^p \) è uno spazio vettoriale abbiamo che \( \left| f_{n_1} \right| + g \in L^p \), detto altrimenti
\[ \int \left| f \right|^p \leq \int ( \left| f_{n_1} \right| + g )^p < + \infty \]
Pertanto deduciamo che \( f \in L^p (a,b) \). Sia ora \( \epsilon > 0 \) e per Cauchy esiste \(M \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n,m \geq M \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n} - f_{m} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon}{2} \] in particolare se \( K \in \mathbb{N} \) è tale che \( n_k \geq M , \forall k \geq K \) allora \( \forall k,j \geq K \) risulta che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k}} - f_{n_j} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon }{2} \]
Dunque \( \forall k \geq K \) abbiamo che
(Edit: avevo io dimenticato gli esponenti p)
\[ \begin{Vmatrix} f - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} = \left( \int \left| f- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \overset{\text{Converg. punt. quasi ovunque}}{=} \left( \int \lim \inf_{j \to \infty} \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
\[ \overset{\text{Fatou}}{\leq} \left(\lim \inf_{j \to \infty} \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty}\left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty} \begin{Vmatrix} f_{n_{j}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Dunque abbiamo che \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} f \)
Pertanto essendo \( (f_n) \) una successione di Cauchy che ammette una sottosuccessione convergente abbiamo che \( f_n \xrightarrow{L^p } f \).
E questo conclude la dimostrazione del punto i)
Step 1.4 Dimostriamo il punto ii)
Sotto l'ipotesi che \( f_n \xrightarrow{L^p } f \) allora \((f_n)_n \) è di Cauchy. Inoltre per gli step da 1.1 a 1.3 abbiamo che esiste \( (f_{n_k}) \subseteq (f_n) \) e \( \tilde{f} \) (definita come la \(f \) al punto 1.2 ) tale che \( f_{n_k} \to \tilde{f} \) quasi ovunque e \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} \tilde{f} \) pertanto per unicità del limite abbiamo che \( \tilde{f} = f \) quasi ovunque e dunque il risultato è dimostrato.
Voi riuscite a trovare un errore? Io proprio no, e se lo trovate non ditemelo perfavore ma magari indicatemi solo la "zona" di dov'è situato.
Sia \( - \infty \leq a < b \leq + \infty \) e \( 1 \leq p \leq + \infty \) allora
i) \( (L^p(a,b), \begin{Vmatrix} \cdot \end{Vmatrix}_{L^p}) \) è completo
ii) Se \( f_n \xrightarrow{L^p} f \) tale che esiste \( (f_{n_k})_k \subseteq (f_n)_n \) tale che \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque. In particolare se \( p = + \infty \) allora è la successione intera che converge puntualmente.
L'errore si trova nella dimostrazione del caso 1 ovvero considera \( 1 \leq p < + \infty \)
Non dimostrazione:
Caso 1:
i) Sia \( (f_n)_n \) una successione di Cauchy in \( L^p \).
Step 1.1 Costruzione della sotto-successione.
Utilizzando la definizione di successione di Cauchy abbiamo che per \( k \in \mathbb{N} \) esiste \(N_k \in \mathbb{N}\) tale che \( \forall n,m \geq N_k \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f_m \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
Costruiamo \((n_k)_k \) per ricorrenza: \( n_1 = N_1 \) e \(n_{k+1} = \max(N_{k+1},n_k +1 ) \)
in questo modo è garantito che \( \forall k \in \mathbb{N} \) risulta che \( n_{k+1} \geq N_k +1 \geq N_k \) e contemporaneamente \( n_k \geq N_k \) dunque
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
Step 1.2 Costruzione del limite
Siano \( g,g_j : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+ \cup \{ + \infty \} \) definite per
\[ g_j(x) = \sum\limits_{k=1}^{j} \left| f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) \right| \] e
\[ g(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left| f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) \right| \]
Facciamo notare che la forma \( \infty - \infty \) può apparire solo su un insieme di misura nulla e dunque possiamo cambiare rappresentante della successione dentro \( L^p \) e cambiarla su un insieme di misura nulla.
Abbiamo allora che per Minkowski
\[ \begin{Vmatrix} g_j \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \sum\limits_{k=1}^{j} \begin{Vmatrix} f_{n_{k+1}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \sum\limits_{k=1}^{j} \frac{1}{2^k} \leq 1 \]
In più abbiamo che \( g_j \uparrow g \) e dunque per crescenza e continuità di \( t \mapsto t^p \) abbiamo che \( g_j^p \uparrow g^p \)
Inoltre per il teorema della convergenza monotona abbiamo che
\[ \int g^p = \int \lim_{j \to \infty } g_j^p = \lim_{j \to \infty} \int g_j^p \leq 1 < + \infty \]
Pertanto \( g^p \in L^1 \) e dunque \( g^p < +\infty \) quasi ovunque il quale implica che \( g < +\infty \) quasi ovunque.
Sia dunque \( N := \{ x \in \mathbb{R} : g(x) =+ \infty \} \) con \( \operatorname{mes}(N) = 0 \) allora per ogni \( x \in \mathbb{R} \setminus N \) abbiamo che la serie
\[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) \]
converge assolutamente e dunque converge.
Poniamo dunque \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\[ f (x) = \left\{\begin{matrix}
f_{n_1}(x) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) & \text{se} & x \in \mathbb{R} \setminus N \\
& & \\
\text{un valore arbitrario, altrimenti} & &
\end{matrix}\right. \]
Notiamo che essendo \( \sum\limits_{k=1}^{j} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) \) una somma telescopica allora
\[ f_{n_k} = f_{n_1} +\sum\limits_{k=1}^{k-1} ( f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x) ) = f_{n_1} +f_{n_{k}} - f_{n_1} \]
E pertanto \( f_{n_k} \to f \) puntualmente quasi ovunque.
Step 1.3 Dimostriamo che \( f \in L^p \) e che \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} f \)
Abbiamo che \( \left| f \right|^p \leq ( \left| f_{n_1} \right| + g )^p \) e pervia che \( L^p \) è uno spazio vettoriale abbiamo che \( \left| f_{n_1} \right| + g \in L^p \), detto altrimenti
\[ \int \left| f \right|^p \leq \int ( \left| f_{n_1} \right| + g )^p < + \infty \]
Pertanto deduciamo che \( f \in L^p (a,b) \). Sia ora \( \epsilon > 0 \) e per Cauchy esiste \(M \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n,m \geq M \) abbiamo che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n} - f_{m} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon}{2} \] in particolare se \( K \in \mathbb{N} \) è tale che \( n_k \geq M , \forall k \geq K \) allora \( \forall k,j \geq K \) risulta che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k}} - f_{n_j} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon }{2} \]
Dunque \( \forall k \geq K \) abbiamo che
(Edit: avevo io dimenticato gli esponenti p)
\[ \begin{Vmatrix} f - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} = \left( \int \left| f- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \overset{\text{Converg. punt. quasi ovunque}}{=} \left( \int \lim \inf_{j \to \infty} \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
\[ \overset{\text{Fatou}}{\leq} \left(\lim \inf_{j \to \infty} \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty}\left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty} \begin{Vmatrix} f_{n_{j}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Dunque abbiamo che \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} f \)
Pertanto essendo \( (f_n) \) una successione di Cauchy che ammette una sottosuccessione convergente abbiamo che \( f_n \xrightarrow{L^p } f \).
E questo conclude la dimostrazione del punto i)
Step 1.4 Dimostriamo il punto ii)
Sotto l'ipotesi che \( f_n \xrightarrow{L^p } f \) allora \((f_n)_n \) è di Cauchy. Inoltre per gli step da 1.1 a 1.3 abbiamo che esiste \( (f_{n_k}) \subseteq (f_n) \) e \( \tilde{f} \) (definita come la \(f \) al punto 1.2 ) tale che \( f_{n_k} \to \tilde{f} \) quasi ovunque e \( f_{n_k} \xrightarrow{L^p} \tilde{f} \) pertanto per unicità del limite abbiamo che \( \tilde{f} = f \) quasi ovunque e dunque il risultato è dimostrato.
Risposte
Ciao, piccolissimi typo che non sono certo errori:
La seconda cosa è esattamente la definizione della prima.
Qui non è $f$ ma $f_m$.
Qui, più precisamente, hai $n_{k} \ge N_{k}$ e $n_{k+1} > n_k$ per ogni $k \ge 1$.
Perché $\epsilon/2$ se poi usi $\epsilon$?
Quindi, secondo me, non c'è alcun errore.
"3m0o":
[...]
ii) Se \( f_n \xrightarrow{L^p} f \) tale che \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^p} \xrightarrow{n \to \infty} 0 \) [...]
La seconda cosa è esattamente la definizione della prima.
"3m0o":
[...]
\[ \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{1}{2^k} \]
[...]
Qui non è $f$ ma $f_m$.
"3m0o":
[...] risulta che \( n_{k+1} \geq N_k +1 \geq N_k \) e contemporaneamente \( n_k \geq N_k \) [...]
Qui, più precisamente, hai $n_{k} \ge N_{k}$ e $n_{k+1} > n_k$ per ogni $k \ge 1$.
"3m0o":
[...]
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k}} - f_{n_j} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon }{2} \]
[...]
Perché $\epsilon/2$ se poi usi $\epsilon$?
Quindi, secondo me, non c'è alcun errore.
Grazie correggo i typo.
Si sono io che ho sbagliato a trascriverlo, perché nell'enunciato ho aggiunto per marcare la differenza tra convergenza puntuale e in \( L^p \) e negli appunti ho scritto [...] tale che ( \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^p} \to 0 \) ) [...]
Typo mio!
Certo! ma in quel punto voleva sottolineare che \( n_{k+1}, n_k \geq N_k \) e quindi si può applicare Cauchy per lo stesso \( N_k \). Il fatto che \(n_{k+1} > n_k \) lo usa per dire che la sotto-successione ha indici crescenti (ma lo ha detto solo a voce)
A non lo so, me lo sono domandato pure io, può essere una svista del prof, ma ho trascritto tale quale (eccetto i typo) a come ha scritto il prof perché magari si nasconde un errore in qualche passaggio sottile che non vedo.
Pure secondo me non ce ne sono.
"Bremen000":
La seconda cosa è esattamente la definizione della prima.
Si sono io che ho sbagliato a trascriverlo, perché nell'enunciato ho aggiunto per marcare la differenza tra convergenza puntuale e in \( L^p \) e negli appunti ho scritto [...] tale che ( \( \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^p} \to 0 \) ) [...]
"Bremen000":
Qui non è $ f $ ma $ f_m $.
Typo mio!
"Bremen000":
Qui, più precisamente, hai $ n_{k} \ge N_{k} $ e $ n_{k+1} > n_k $ per ogni $ k \ge 1 $.
Certo! ma in quel punto voleva sottolineare che \( n_{k+1}, n_k \geq N_k \) e quindi si può applicare Cauchy per lo stesso \( N_k \). Il fatto che \(n_{k+1} > n_k \) lo usa per dire che la sotto-successione ha indici crescenti (ma lo ha detto solo a voce)
"Bremen000":
Perché $ \epsilon/2 $ se poi usi $ \epsilon $?
A non lo so, me lo sono domandato pure io, può essere una svista del prof, ma ho trascritto tale quale (eccetto i typo) a come ha scritto il prof perché magari si nasconde un errore in qualche passaggio sottile che non vedo.
"Bremen000":
Quindi, secondo me, non c'è alcun errore.
Pure secondo me non ce ne sono.
La dimostrazione oltretutto è identica a quella che si trova sul libro di Brezis!
Mi vuoi dire che ci ha mentito per farcela studiare a fondo?
Geniale.... a modo suo!
Geniale.... a modo suo!
Si, secondo me sì! O ha sbagliato dimostrazione con l'errore e in realtà ne hai un'altra con un errore micidiale! Solo aver insinuato questo dubbio è doppiamente geniale, perché ora devi studiarle tutte a fondo per vedere dove è il possibile errore!
Un mio compagno di corso ha detto che il prof gli ha riferito che un "errore" c'è, nel senso che non è un vero errore ma che c'è un passaggio che ha bisogno di giustificazione supplementare ed è il seguente nello Step 1.3
Ora di quale giustificazione ha bisogno? Non capisco.
È forse nascosto lì il motivo per cui stima prima con \( \epsilon /2 \) e poi dice \( \epsilon \) ?
"3m0o":
\[ \left(\lim \inf_{j \to \infty} \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty}\left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
Ora di quale giustificazione ha bisogno? Non capisco.
È forse nascosto lì il motivo per cui stima prima con \( \epsilon /2 \) e poi dice \( \epsilon \) ?
La mappa \( \mathbb{R}_+ \ni x \mapsto x^{1/p} \) è continua per ogni $p \ge 1$ e quindi quell'affare entra e esce dal \( \liminf \). Forse non ho capito qualcosa io...
Non so, non mi sembra così eclatante come cosa a tal punto da dire che dev'essere giustificata. Forse per il fatto che \(j \) è sufficientemente grande?
Ma no, $j$ è già sufficientemente grande, ci stai facendo il limite. Dovrai fartela spiegare per bene questa cosa perché sono proprio curioso!
Non hai poi più guardato la mia risposta alla tua domanda sui gruppi topologici!
Non hai poi più guardato la mia risposta alla tua domanda sui gruppi topologici!
"Bremen000":
Ma no, $j$ è già sufficientemente grande, ci stai facendo il limite. Dovrai fartela spiegare per bene questa cosa perché sono proprio curioso!
Ho chiesto al prof e l'errore si trova qui
"3m0o":
in particolare se \( K \in \mathbb{N} \) è tale che \( n_k \geq M , \forall k \geq K \) allora \( \forall k,j \geq K \) risulta che
\[ \begin{Vmatrix} f_{n_{k}} - f_{n_j} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \frac{\epsilon }{2} \]
Dunque \( \forall k \geq K \) abbiamo che
"3m0o":
\[ \lim \inf_{j \to \infty}\left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} = \lim \inf_{j \to \infty} \begin{Vmatrix} f_{n_{j}} - f_{n_k} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Nel senso che la giustificazione "siccome \(j\) è sufficientemente grande" non è sufficientemente precisa poiché bisogna spezzare il liminf
\[\lim \inf_{j \to \infty} \left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
in \[ \lim_{\ell \to \infty} \inf_{j \geq \ell} \left( \int \left| f_{n_j}- f_{n_k} \right|^p \right)^{1/p} \]
E mi ha fatto l'analogia con
\( a_n= (-1)^n \frac{n}{n+1} \) che il \( \lim \inf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} \inf_{m \geq n} a_n \) e \( \inf_{m \geq n} a_n = -1 \) ma non esiste \(n\) tale che \(a_n=-1\).
Sostanzialmente non è un errore nel senso che ha scritto qualcosa di sbagliato ma qualcosa di non sufficientemente preciso. Perché a priori facendo il liminf potrei non prendere mai l'integrale.
Anche se a dir la verità non ho ben capito cosa c'è di non preciso, mi sembra che quella sia la definizione di lim inf... quindi mah...
Ecco, ho mandato una mail al prof perché ancora non capivo, e non ci sono errori... ho capito male il francese, la parola che lui utilizzava non era errore ma un'altra, che ancora adesso non ho capito come tradurre. Sostanzialmente il suo obbiettivo era questo:
Saper giustificare a fondo frasi come "per \(j\) sufficientemente grande" o "è evidente che" perché è frequente che gli studenti leggendo una dimostrazione fatta in un libro o scritta da un prof ci credono poiché hanno fiducia nell'"autorità" di chi la dice e non perché hanno compreso il motivo al 100%.
Sostanzialmente voleva che giustificavamo che \( \lim \inf_{j \to \infty} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \) con allora \( \lim \inf_{j \to \infty} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} = \lim_{\ell \to \infty} \inf_{j \geq \ell} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \) siccome se \( \ell \geq K \) allora abbiamo che \( \inf_{j \geq \ell} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \| f_{n_{\ell}} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \)
Saper giustificare a fondo frasi come "per \(j\) sufficientemente grande" o "è evidente che" perché è frequente che gli studenti leggendo una dimostrazione fatta in un libro o scritta da un prof ci credono poiché hanno fiducia nell'"autorità" di chi la dice e non perché hanno compreso il motivo al 100%.
Sostanzialmente voleva che giustificavamo che \( \lim \inf_{j \to \infty} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \) con allora \( \lim \inf_{j \to \infty} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} = \lim_{\ell \to \infty} \inf_{j \geq \ell} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \) siccome se \( \ell \geq K \) allora abbiamo che \( \inf_{j \geq \ell} \| f_{n_j} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \| f_{n_{\ell}} - f_{n_k} \|_{L^p} \leq \epsilon \)
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