Dimostrare che lo spazio degli operatori continui a codominio completo è completo
\( \newcommand{\abs}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)Siano \( E \) ed \( F \) due spazi normati, e sia \( F \) completo. Sia \( (u_n) \) una successione di Cauchy nello spazio \( \mathscr L(E;F) \) degli operatori continui \( E\to F \). Un'applicazione
\[
\begin{aligned}
v\colon E&\to F\\
x&\mapsto\lim_{n\to\infty}u_n(x)
\end{aligned}
\] è ben definita e lineare.
Per provare che \( v \) è continua [le definizioni di norma su \( \mathscr L(E;F) \) che voglio usare sono definite qui], io procederei in questo modo.
Basta provare che il \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{v(x)} \) è finito. Sia \( x\in E \) tale che \( \abs x\leqq 1 \). Allora, per definizione di \( v \), è
\[
\abs{u_n(x) - v(x)} < 1
\] e quindi
\[
\abs{v(x)} < \abs{u_n(x)} + 1 \leqq \abs{u_n} + 1
\] a patto di prendere \( n \) sufficientemente grande. Chiaramente, l'\( x \) che compare dentro \( v \) è fissato in partenza, e quello che questo argomento dimostra è che, preso un \( x \) in \( E \) di norma minore di \( 1 \), esiste un qualche \( M\in\mathbb R \) tale che \( \abs{v(x)} < M \): questo non è molto interessante.
Ora. Sul Dieudonné c'è questa dimostrazione qui, che faccio fatica a capire.
Perché questa dimostrazione funziona, mentre la mia no?
\[
\begin{aligned}
v\colon E&\to F\\
x&\mapsto\lim_{n\to\infty}u_n(x)
\end{aligned}
\] è ben definita e lineare.
Per provare che \( v \) è continua [le definizioni di norma su \( \mathscr L(E;F) \) che voglio usare sono definite qui], io procederei in questo modo.
Basta provare che il \( \sup_{\abs x\leqq 1}\abs{v(x)} \) è finito. Sia \( x\in E \) tale che \( \abs x\leqq 1 \). Allora, per definizione di \( v \), è
\[
\abs{u_n(x) - v(x)} < 1
\] e quindi
\[
\abs{v(x)} < \abs{u_n(x)} + 1 \leqq \abs{u_n} + 1
\] a patto di prendere \( n \) sufficientemente grande. Chiaramente, l'\( x \) che compare dentro \( v \) è fissato in partenza, e quello che questo argomento dimostra è che, preso un \( x \) in \( E \) di norma minore di \( 1 \), esiste un qualche \( M\in\mathbb R \) tale che \( \abs{v(x)} < M \): questo non è molto interessante.
Ora. Sul Dieudonné c'è questa dimostrazione qui, che faccio fatica a capire.
Per la cauchyità (?) di \( (u_n) \), preso \( x \) tale che \( \abs x\leqq 1 \) e fissato un \( \epsilon > 0 \) è
\[
\abs{u_m(x) - u_n(x)} < \epsilon
\] e quindi [aggiunta mia: scrivendo \( \abs{u_m(x) - u_n(x)} \) come \( \abs{u_m(x) - v(x) + v(x) - u_n(x)} \)] si ha
\[
\abs{v(x) - u_n(x)} < \epsilon
\]da cui
\[
\abs{v(x)} < \abs{u_n(x)} + \epsilon
\] tutto per \( m \) ed \( n \) sufficientemente grandi. \( \square \)
Perché questa dimostrazione funziona, mentre la mia no?
Risposte
cauchyitàCauchyenza
Perché la tua dimostrazione non funziona?
Le successioni di Cauchy in norma operatoriale sono limitate, quindi hai fatto.
P.S.: Cauchyness.
Le successioni di Cauchy in norma operatoriale sono limitate, quindi hai fatto.
P.S.: Cauchyness.
Leggi bene "Cauchyenza" 
Probabilmente è proprio lui
Probabilmente è proprio lui
"gugo82":Ok, grazie, non mi era venuto in mente!
Le successioni di Cauchy in norma operatoriale sono limitate, quindi hai fatto.
"gugo82":Fissiamo un \( x\in E \) con \( \lVert x\rVert \leqq 1 \). È vero che
Perché la tua dimostrazione non funziona?
\[
\lVert v(x)\rVert < \lVert u_{n_0}\rVert + 1
\] per un qualche \( n_0 \) abbastanza grande, ma, limitatezza di \( (u_n) \) a parte, non so cosa mi garantirebbe che anche
\[
\lVert v({\color{red} y})\rVert < \lVert u_{n_0}\rVert + 1
\] per un qualche \( y\in E \) non necessariamente uguale a \( x \). (Nulla, in generale; bisogna maggiorare RHS usando il fatto che \( (u_n) \) è limitata).
"marco2132k":Ok, grazie, non mi era venuto in mente![/quote]
[quote="gugo82"]Le successioni di Cauchy in norma operatoriale sono limitate, quindi hai fatto.
Beh, è una proprietà metrica fondamentale, quindi viene usata spesso.
"marco2132k":Fissiamo un \( x\in E \) con \( \lVert x\rVert \leqq 1 \). È vero che
[quote="gugo82"]Perché la tua dimostrazione non funziona?
\[
\lVert v(x)\rVert < \lVert u_{n_0}\rVert + 1
\] per un qualche \( n_0 \) abbastanza grande, ma, limitatezza di \( (u_n) \) a parte, non so cosa mi garantirebbe che anche
\[
\lVert v({\color{red} y})\rVert < \lVert u_{n_0}\rVert + 1
\] per un qualche \( y\in E \) non necessariamente uguale a \( x \). (Nulla, in generale; bisogna maggiorare RHS usando il fatto che \( (u_n) \) è limitata).[/quote]
Certo, ma non è quello che fa il testo, mi pare...
Come noto, un operatore lineare è limitato se e solo se è continuo se e solo se è continuo in $0_E$ ed, "a occhio", è proprio dove la dimostrazione del testo vorrebbe andare a parare.
Vedi un po' se torna.
\( \newcommand{\abs}[1]{\lVert{#1}\rVert} \)
In effetti non capivo perché, per dire quello che ho detto io (cioè che \( \abs{v(x)} < \abs{u_n} + 1 \) ecc.), Dieudonné la facesse così complicata; la risposta è che sta dimostrando che \( v \) è continuo in \( 0 \), non che è limitato. Grazie!
"gugo82":Ok, adesso sì ho che risolto.
Certo, ma non è quello che fa il testo, mi pare...
Come noto, un operatore lineare è limitato se e solo se è continuo se e solo se è continuo in 0E ed, "a occhio", è proprio dove la dimostrazione del testo vorrebbe andare a parare.
In effetti non capivo perché, per dire quello che ho detto io (cioè che \( \abs{v(x)} < \abs{u_n} + 1 \) ecc.), Dieudonné la facesse così complicata; la risposta è che sta dimostrando che \( v \) è continuo in \( 0 \), non che è limitato. Grazie!
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