Differenza tra polinomi di Legendre e polinomi di Chebyshev

[Califfo02]

Salve, riporto una domanda di un prof all'esame di metodi matematici che chiedeva la differenza tra i polinomi di Legendre e Chebyschev, e (al di la' della differenza nella definizione), cha chiesto in particolare come mai sono definiti entrambi. Come suggerimento ha detto di pensare a com'e' definito il prodotto scalare nei due polinomi...

A me non e' venuto in mente nulla, mi sapreste aiutare?

[ghira1]

pesi diversi

[Califfo02]

??

[gugo82]

Quelle sono famiglie di polinomi ortogonali rispetto a due prodotti scalari differenti, poiché fatti rispetto a due pesi differenti.

[Califfo02]

cosa intendi con pesi? Il termine da aggiungere nell'integrale del prodotto scalare?(oltre al prodotto delle funzioni)

[ghira1]

Ammetto che "pesi diversi" in realtà non risponde alla domanda su perché sono definiti tutti e due.

[gugo82]

Più che un esame di Metodi Matematici, a molti servirebbe un corso di Lessico Matematico...

Se il prodotto scalare $<<*,*>>_w$ nello spazio funzionale (reale... Se complesso serve aggiungere qualche coniugato, ma sostanzialmente siamo lì) che interessa è definito mediante un integrale del tipo:

$<>_w := int_a^b f(x) g(x) w(x)\ "d"x$

con $w>=0$ q.o. in $[a,b]$, la funzione $w$ si chiama peso.

[megas_archon]

"gugo82":Più che un esame di Metodi Matematici, a molti servirebbe un corso di Lessico Matematico...

Se il prodotto scalare $<<*,*>>_w$ nello spazio funzionale (reale... Se complesso serve aggiungere qualche coniugato, ma sostanzialmente siamo lì) che interessa è definito mediante un integrale del tipo:

$<>_w := int_a^b f(x) g(x) w(x)\ "d"x$

con $w>=0$ q.o. in $[a,b]$, la funzione $w$ si chiama peso.

Quali sono le ipotesi minime su $w$ per fare sì che definisca un prodotto scalare, o perlomeno una applicazione bilineare non degenere? Ricordo che provai a categorificare alcune proprietà di questa operazione sulla falsariga di questo articolo http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/25/5/25-05.pdf (vedi le definizioni di lower e upper convolution a pagina 2 del pdf e la condizione su $p$ di compatibilità con l'antipodo poco prima del Teorema 1.1)

[pilloeffe]

Ciao Califfo02,

"Califfo02":[...]ha chiesto in particolare come mai sono definiti entrambi.

Intendiamoci, non è che la domanda del professore brilli per chiarezza, ma forse una possibile interpretazione della richiesta potrebbe essere la seguente.
Utilizzando il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt è possibile costruire, partendo dal sistema delle potenze $\{x^n\}$ un sistema completo di polinomi $\{P_n(x)\}$, di grado uguale all'indice, che risultino ortogonali in un dato intervallo $(a, b) $ arbitrario ($(- 1, 1)$ nel caso in esame) e rispetto ad una prefissata funzione peso $w(x) $ (dall'inglese weight), che nel caso in esame è diversa per i polinomi di Legendre e per quelli di Chebyshev. I coefficienti di tali polinomi risulteranno essere sempre reali, come conseguenza della realtà delle potenze di $x$ e delle funzioni peso $w(x)$; conseguentemente la relazione di ortogonalità si può scrivere semplicemente

$\langle P_k, P_l \rangle = \int_a^b P_k(x)P_l(x)w(x) = 0 $

per $k \ne l $
Risulta evidente che l'$n$-esima potenza di $x$ è esprimibile come combinazione lineare dei primi $n + 1$ polinomi di una tale famiglia:

$x^n = \sum_{k = 0}^{n} c_k P_k(x) $

Ora, nulla vieta di porre $x := cos \theta + i sin \theta $ e ricordando la formula di De Moivre si ha:

$(cos \theta + i sin \theta)^n = cos(n\theta) + i sin(n\theta) = \sum_{k = 0}^{n} c_k P_k(cos\theta + i sin \theta) $

Applicando il binomio di Newton al primo membro, separando la parte reale da quella immaginaria
ed utilizzando $i^{2k} = (-1)^k $ e la relazione fondamentale della trigonometria $sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta $, si può ottenere la rappresentazione seguente:

$cos(n\theta) = \sum_{k = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor}((n),(2k)) (cos^2\theta - 1)^k (cos \theta)^{n - 2k} $

Quest'ultima equazione mostra che $cos(n\theta)$ è un polinomio di $cos \theta$ di grado $n$ con coefficiente principale positivo. A questo punto nulla vieta di definire il polinomio (di Chebyshev di prima specie) come segue:

$T_n(t) = cos(n\theta) = \sum_{k = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor}((n),(2k)) (t^2 - 1)^k t^{n - 2k}$

ove $ t = cos\theta $

[Califfo02]

grazie a tuttu