Differenza fra algebra e $\sigma$- algebra

[MerakUrsaeMajoris]

Buonasera,
durante il corso di 'Metodi matematici per la fisica 2' il prof ci sta facendo un pò di teoria della misura, svolta in parte ad analisi 2. Riguardando gli appunti mi sono accorta di non aver capito bene la differenza che vi è fra un' 'algebra' ed una $\sigma$-algebra.
Qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza??
Grazie.

[Raptorista1]

Se guardi le definizioni dovresti vedere la differenza. Generalmente il prefisso \(\sigma\) denota una qualche relazione con somme infinite, in contrapposizione a somme finite.

[Ernesto011]

In pratica è la stessa definizione solo che la $sigma$-algebra è chiusa rispetto a unione e intersezione alpiù numerabile mentre l'algebra è chiusa rispetto a unione e intersezione finita.
Ogni algebra è anche una $sigma$-algebra

[dissonance]

"Ernesto01":
Ogni algebra è anche una $sigma$-algebra

al contrario

[Ernesto011]

"dissonance":[quote="Ernesto01"]
Ogni algebra è anche una $sigma$-algebra

al contrario[/quote]
Si logicamente, grazie!

[Chiò1]

Una sigma algebra per essere tale deve godere di tre proprietà
1) deve contenere l'evento impossibile (dalla 2 segue che contiene anche l'evento certo)
2) se A appartiene alla sigma algebra allora anche il suo complementare appartiene alla sigma algebra
3) data una successione di eventi numerabili $A_1,A_2,...$ se tutti questi eventi appartengono alla sigma algebra allora anche la loro unione numerabile apparterrà la sigma algebra. Si può dimostrare facilmente che grazie alle leggi di de morgan anche l'intersezione numerabile appartiene alla sigma algebra

Ora se la 3) vale solo per successioni finite (e non numerabili) parleremo di algebra. Logicamente ogni sigma algebra è anche un algebra ma non vale il viceversa.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Avevo fatto un esempio qui di algebra che non è $sigma$-algebra, ma non avevo scritto una dimostrazione formale, se qualcuno vuole può provare, si tratterebbe di mostrare che l'algebra generata dagli intervalli reali $[0,1/n)$ non contiene ${0}$ (e quindi non è una $sigma$-algebra).