Determinazione singolarità (tipo)
Buonasera.
Devo determinare che tipo di singolarità è 0 per la seguente funzione
$ f(z)=z*sin(1/z^2) $
Io avrei detto una singolarità eliminabile, perchè facendo il limite per z che va a 0, ho il prodotto di una infinitesima per una limitata che dà 0.
In realtà è una singolarità essenziale. Dove sbaglio?
Devo determinare che tipo di singolarità è 0 per la seguente funzione
$ f(z)=z*sin(1/z^2) $
Io avrei detto una singolarità eliminabile, perchè facendo il limite per z che va a 0, ho il prodotto di una infinitesima per una limitata che dà 0.
In realtà è una singolarità essenziale. Dove sbaglio?
Risposte
Ciao! L'errore è che il seno in $\mathbb{C}$ non è limitato.
Prova a scrivere la serie di Laurent di $\sin \frac{1}{z^2}$ centrata in $z_0=0$.
Prova a scrivere la serie di Laurent di $\sin \frac{1}{z^2}$ centrata in $z_0=0$.
Cacchio, vero. In generale, per questo tipo di esercizi conviene quindi scrivere la serie di Laurent e guardare quanti sono i coefficienti con $ n<0 $ a non essere nulli?
Nello specifico se sono in numero finito ho un polo, in numero infinito sing. essenziale, e se non ne ho eliminabile. Giusto?
Nello specifico se sono in numero finito ho un polo, in numero infinito sing. essenziale, e se non ne ho eliminabile. Giusto?
Esattamente, anche se non ci metterei la mano sul fuoco sulla singolarità eliminabile, tipicamente lo controllavo con i limiti. Magari aspetta un parere più esperto.
Sì, è sicuramente un metodo efficiente se riesci a scrivere la serie di Laurent centrata nel punto $z_0$ che ti interessa di alcuni termini presenti nella funzione e alla fine, facendo i conti, ottieni una serie di potenze di $z-z_0$.
Sì, è sicuramente un metodo efficiente se riesci a scrivere la serie di Laurent centrata nel punto $z_0$ che ti interessa di alcuni termini presenti nella funzione e alla fine, facendo i conti, ottieni una serie di potenze di $z-z_0$.
Il risultato della serie di Laurent della funzione è
$\sum_{k=-infty}^0 z^(4k+1)*(-1)^k/((1-2k)!)$
e da qui concludo che essendo infiniti i coefficienti con k<0, la singolarità è essenziale.
Giusto?
$\sum_{k=-infty}^0 z^(4k+1)*(-1)^k/((1-2k)!)$
e da qui concludo che essendo infiniti i coefficienti con k<0, la singolarità è essenziale.
Giusto?
Mi risulta che
$$z \sin \frac{1}{z^2}=z \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{\left(\frac{1}{z^2}\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}=z \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{1}{z^{4k+2}(2k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{1}{z^{4k+1}(2k+1)!}$$
$$=\sum_{k=-\infty}^{0} (-1)^{k}\frac{1}{z^{-4k+1}(1-2k)!}=\sum_{k=-\infty}^{0} (-1)^{k}\frac{z^{4k-1}}{(1-2k)!}$$
Il tuo non è corretto perché per $k=0$ ottieni un termine del tipo $z$, quando invece dovresti ottenere per $k=0$ un termine del tipo $\frac{1}{z}$ (ti basti pensare allo sviluppo di Taylor di $\sin \frac{1}{x^2}$ e moltiplicarlo per $x$ per convincertene).
Comunque, errori di conto a parte che facciamo tutti, sì, corretto; ha infiniti termini costituiti dalle potenze di $\frac{1}{z}$ e dunque $z_0=0$ è una singolarità essenziale per $f$.
$$z \sin \frac{1}{z^2}=z \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{\left(\frac{1}{z^2}\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}=z \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{1}{z^{4k+2}(2k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{1}{z^{4k+1}(2k+1)!}$$
$$=\sum_{k=-\infty}^{0} (-1)^{k}\frac{1}{z^{-4k+1}(1-2k)!}=\sum_{k=-\infty}^{0} (-1)^{k}\frac{z^{4k-1}}{(1-2k)!}$$
Il tuo non è corretto perché per $k=0$ ottieni un termine del tipo $z$, quando invece dovresti ottenere per $k=0$ un termine del tipo $\frac{1}{z}$ (ti basti pensare allo sviluppo di Taylor di $\sin \frac{1}{x^2}$ e moltiplicarlo per $x$ per convincertene).
Comunque, errori di conto a parte che facciamo tutti, sì, corretto; ha infiniti termini costituiti dalle potenze di $\frac{1}{z}$ e dunque $z_0=0$ è una singolarità essenziale per $f$.
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