Derivata nel senso delle distribuzioni
Salve, il testo dell'esercizio è il seguente:
$ f(t) = { ( t^2/|t| , text(, se ) |t|>2 ),( (-1)^([t]) , text(, se ) |t| <= 2) :} $
Adesso, tramite il ricorso alla funzione caratteristica $ chi $ e grazie al metodo di integrazione per parti sono giunto a un risultato che credo sia giusto. Tuttavia, in realtà non ho ben capito come si procede, o meglio, probabilmente non capisco cosa faccio nei vari passaggi.
Per inciso, il risultato che avevo trovato è questo: $ -varphi(-2) +< (t^2/|t|)'chi ]-oo, -2], varphi(t)> -2varphi(-1) +2varphi(0) -2varphi(1) +2varphi(2) +< (t^2/|t|)'chi [2, +oo[, varphi(t)> $
Non riesco a capire neanche a cosa corrispondano i vari valori che trovo. Alcuni miei colleghi mi hanno accennato che corrispondono alla delta di dirac, o a dei gradini, ecc.
Grazie
$ f(t) = { ( t^2/|t| , text(, se ) |t|>2 ),( (-1)^([t]) , text(, se ) |t| <= 2) :} $
Adesso, tramite il ricorso alla funzione caratteristica $ chi $ e grazie al metodo di integrazione per parti sono giunto a un risultato che credo sia giusto. Tuttavia, in realtà non ho ben capito come si procede, o meglio, probabilmente non capisco cosa faccio nei vari passaggi.
Per inciso, il risultato che avevo trovato è questo: $ -varphi(-2) +< (t^2/|t|)'chi ]-oo, -2], varphi(t)> -2varphi(-1) +2varphi(0) -2varphi(1) +2varphi(2) +< (t^2/|t|)'chi [2, +oo[, varphi(t)> $
Non riesco a capire neanche a cosa corrispondano i vari valori che trovo. Alcuni miei colleghi mi hanno accennato che corrispondono alla delta di dirac, o a dei gradini, ecc.
Grazie
Risposte
La parentesi quadra denota parte intera? Definita come?
Ad ogni buon conto, innanzitutto, espliciterei bene la funzione e ne farei un grafico.
Sperando di aver intuito bene la situazione, dovresti avere qualcosa del genere:
[asvg]axes("", "");
strokewidth = 2; stroke = "red";
line([2,2], [6,6]); line([-2,2], [-6,6]); line([1,-1], [2,-1]); line([-1, -1], [-2,-1]); line([-1,1],[1,1]);[/asvg]
Se la funzione non presentasse salti, la sua derivata sarebbe $-1$ in $]-oo, -2[$, $0$ in $[-2,2[$ ed $1$ in $]2,+oo[$. Però in questo modo tralasciamo i salti… D’altra parte, sai dalla teoria (l’hai studiata, vero?) che, lì dove c’è un salto, nella derivata distribuzionale è presente una $delta$ di pari ampiezza (positiva o negativa) del salto.
Ne viene che in $-2$ è concentrata una $delta$ di ampiezza $-3$, in $-1$ è concentrata una $delta$ di ampiezza $2$, etc…
Quindi la derivata distribuzionale della funzione rappresentata nel grafico (che spero sia quella giusta!) è una cosa tipo:
\[
f^\prime (t) = (-1+ H(t+2)) + H(t-2) - 3\delta (t+2) + 2 \delta(t+1) - 2 \delta(t-1) + 3 \delta(t-2) \;,
\]
o simile, in cui $H(t) = \{ (1, text(, se ) t >=0 ), ( 0, text(, se ) t<0):}$ è il gradino unitario (o funzione di Heavyside).
Ad ogni buon conto, innanzitutto, espliciterei bene la funzione e ne farei un grafico.
Sperando di aver intuito bene la situazione, dovresti avere qualcosa del genere:
[asvg]axes("", "");
strokewidth = 2; stroke = "red";
line([2,2], [6,6]); line([-2,2], [-6,6]); line([1,-1], [2,-1]); line([-1, -1], [-2,-1]); line([-1,1],[1,1]);[/asvg]
Se la funzione non presentasse salti, la sua derivata sarebbe $-1$ in $]-oo, -2[$, $0$ in $[-2,2[$ ed $1$ in $]2,+oo[$. Però in questo modo tralasciamo i salti… D’altra parte, sai dalla teoria (l’hai studiata, vero?) che, lì dove c’è un salto, nella derivata distribuzionale è presente una $delta$ di pari ampiezza (positiva o negativa) del salto.
Ne viene che in $-2$ è concentrata una $delta$ di ampiezza $-3$, in $-1$ è concentrata una $delta$ di ampiezza $2$, etc…
Quindi la derivata distribuzionale della funzione rappresentata nel grafico (che spero sia quella giusta!) è una cosa tipo:
\[
f^\prime (t) = (-1+ H(t+2)) + H(t-2) - 3\delta (t+2) + 2 \delta(t+1) - 2 \delta(t-1) + 3 \delta(t-2) \;,
\]
o simile, in cui $H(t) = \{ (1, text(, se ) t >=0 ), ( 0, text(, se ) t<0):}$ è il gradino unitario (o funzione di Heavyside).
Grazie mille per la risposta, hai interpretato tutto alla perfezione. Questo metodo "grafico" l'ho fatto pure io, esattamente come hai fatto tu, quindi ci sono.
Forse dal primo messaggio ero sembrato troppo scarso
In realtà volevo dire che non avevo capito a cosa corrispondesse la funzione caratteristica, e che relazione ci fosse con il delta, con i gradini ecc.
Perchè questo metodo "grafico" l'ho capito, almeno nel caso di queste funzioni più o meno semplici, mentre il metodo più analitico tramite appunto l'integrazione per parti, la funzione caratteristica ecc. quella mi sfugge.
Se hai capito a cosa mi riferisco e puoi aiutarmi te ne sarei grato. Sennò credo che comunque questa tecnica risolutiva grafica vada più che bene.
Forse dal primo messaggio ero sembrato troppo scarso
In realtà volevo dire che non avevo capito a cosa corrispondesse la funzione caratteristica, e che relazione ci fosse con il delta, con i gradini ecc.
Perchè questo metodo "grafico" l'ho capito, almeno nel caso di queste funzioni più o meno semplici, mentre il metodo più analitico tramite appunto l'integrazione per parti, la funzione caratteristica ecc. quella mi sfugge.
Se hai capito a cosa mi riferisco e puoi aiutarmi te ne sarei grato. Sennò credo che comunque questa tecnica risolutiva grafica vada più che bene.
"CasellaJr":
Grazie mille per la risposta, hai interpretato tutto alla perfezione. Questo metodo "grafico" l'ho fatto pure io, esattamente come hai fatto tu, quindi ci sono.
Forse dal primo messaggio ero sembrato troppo scarso
Prego.
In realtà ho scritto la soluzione non perché ho pensato tu fossi scarso, ma perché non riuscivo a ricostruire il significato delle tue formule (che sono scritte male e con una notazione che non capisco); dunque ho pensato: “Gliela scrivo, così prova lui a capire se tutto funziona”.
"CasellaJr":
In realtà volevo dire che non avevo capito a cosa corrispondesse la funzione caratteristica, e che relazione ci fosse con il delta, con i gradini ecc.
La funzione caratteristica di un insieme $E subseteq RR$ (o $subseteq RR^N$, è lo stesso) è la funzione:
\[
\chi_E (t) := \begin{cases} 1 &\text{, se } t \in E \\ 0 &\text{, se } t \notin E \end{cases}\; ;
\]
in particolare, se $E = [0,+oo[$ la funzione caratteristica coincide col gradino unitario, mentre se $E=(a,b)$ la funzione caratteristica coincide con la porta di ampiezza unitaria sopra l’intervallo $(a,b)$.
Insomma, la $chi$ è una generalizzazione di gradino e porta.
"CasellaJr":
Perché questo metodo "grafico" l'ho capito, almeno nel caso di queste funzioni più o meno semplici, mentre il metodo più analitico tramite appunto l'integrazione per parti, la funzione caratteristica ecc. quella mi sfugge.
Se hai capito a cosa mi riferisco e puoi aiutarmi te ne sarei grato. Sennò credo che comunque questa tecnica risolutiva grafica vada più che bene.
Posso provare, ma serve un esempio sensatamente semplice… Ce l’hai a portata di mano?
P.S.: per caso $<$ e $>$ li usi al posto delle parentesi angolari \(\langle\) e \(\rangle\)?
E $phi$ è una funzione test?
P.P.S: che testo usi?
Ancora una volta, ti ringrazio per la risposta.
Già mi è più chiaro il senso della funzione caratteristica
Poi sì, < e > li uso al posto delle parentesi angolari, che non avevo idea di come si facessero, quindi pensavo andassero bene < e >.
Infine si, $ varphi $ è una funzione test, e sì, le quadre le uso per indicare la parte intera, che ho capito che è l'intero più piccolo dell'intervallo.
Uso ill testo "Metodi matematici per l'ingegneria", di Di Fazio-Frasca, che sono (Frasca era) professori dell'Unict. Mi sono esercitato tramite i compiti passati del mio prof. (Zamboni) e tramite un eserciziario (molto completo, che purtroppo non si trova più in rete in quanto era sul suo sito web prima di andare in pensione).
Se vuoi posso passarti un esempio che ha fatto il mio prof. in classe sia tramite metodo grafico sia analitico, che è questo:
$ f(t) = { ( te^-[t], ", se " |t| <= 2),( t^2 + 1, ", se " |t| > 2):} $
Già mi è più chiaro il senso della funzione caratteristica
Poi sì, < e > li uso al posto delle parentesi angolari, che non avevo idea di come si facessero, quindi pensavo andassero bene < e >.
Infine si, $ varphi $ è una funzione test, e sì, le quadre le uso per indicare la parte intera, che ho capito che è l'intero più piccolo dell'intervallo.
Uso ill testo "Metodi matematici per l'ingegneria", di Di Fazio-Frasca, che sono (Frasca era) professori dell'Unict. Mi sono esercitato tramite i compiti passati del mio prof. (Zamboni) e tramite un eserciziario (molto completo, che purtroppo non si trova più in rete in quanto era sul suo sito web prima di andare in pensione).
Se vuoi posso passarti un esempio che ha fatto il mio prof. in classe sia tramite metodo grafico sia analitico, che è questo:
$ f(t) = { ( te^-[t], ", se " |t| <= 2),( t^2 + 1, ", se " |t| > 2):} $
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