Derivata distribuzionale di una funzione BV
Ciao a tutti.
Sapete mica darmi una mano su come determinare la derivata distribuzionale di una funzione \( f\in BV([a,b]) \) (a variazione limitata).
Il mio prof mi ha fatto un discorso che non ho capito. Forse perché ho un po' di lacune sulle funzioni BV.
Una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è limitata su $[a,b]$ e quindi sta in $l^1([a,b])$ e di conseguenza posso considerare l'immersione $j$ di $f$ nelle distribuzioni. Allora ha senso chiedersi chi è la sua derivata distribuzionale.
Per la decomposizione di Jordan una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è tale che $f=g-h$ con $g,h$ debolmente crescenti.
Poi, però, è saltato alle funzioni NBV([a,b]) (BV normalizzate) dicendo che una qualunque \( f\in BV([a,b]) \) normalizzata si può scrivere come $f=k+l$ con \( l\in NBV([a,b]) \) e funzione $k$ funzione dei salti definita nel modo seguente
Poi si è andato a calcolare \( j(l)'(\phi)=-j(l)(\phi')=-\displaystyle\int_{[a,b]} l \phi 'dx \) (immagino che $j(k)'(\phi)=-j(k)(\phi)=0$ perché faccio l'integrale su dei punti)
Ma poi ha detto che a $j(f)'=\mu$ dove \mu è una misura da cui \( j(f)'(\phi)=\mu(\phi)=\displaystyle\int_{[a,b]}\phi d\mu \)
Quindi la tesi è diventata \( -\displaystyle\int_{[a,b]} l \phi 'dx =\displaystyle\int_{[a,b]}\phi d\mu \quad\forall\phi\in D([a,b]) \) che si ottiene in qualche modo usando il teorema di Radon Nikodym e poi la formula di derivazione del prodotto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il filo logico di questi passaggi per me un po' confusi? Grazie!
Sapete mica darmi una mano su come determinare la derivata distribuzionale di una funzione \( f\in BV([a,b]) \) (a variazione limitata).
Il mio prof mi ha fatto un discorso che non ho capito. Forse perché ho un po' di lacune sulle funzioni BV.
Una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è limitata su $[a,b]$ e quindi sta in $l^1([a,b])$ e di conseguenza posso considerare l'immersione $j$ di $f$ nelle distribuzioni. Allora ha senso chiedersi chi è la sua derivata distribuzionale.
Per la decomposizione di Jordan una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è tale che $f=g-h$ con $g,h$ debolmente crescenti.
Poi, però, è saltato alle funzioni NBV([a,b]) (BV normalizzate) dicendo che una qualunque \( f\in BV([a,b]) \) normalizzata si può scrivere come $f=k+l$ con \( l\in NBV([a,b]) \) e funzione $k$ funzione dei salti definita nel modo seguente
\( k(x)=\begin{cases} 0\quad se\ x\notin\{\frac{1}{n+1}:n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\} \\ k_n\quad se\ x\in\{\frac{1}{n+1}:n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\} \\ k_\infty\quad se\ x=0 \end{cases} \)
Poi si è andato a calcolare \( j(l)'(\phi)=-j(l)(\phi')=-\displaystyle\int_{[a,b]} l \phi 'dx \) (immagino che $j(k)'(\phi)=-j(k)(\phi)=0$ perché faccio l'integrale su dei punti)
Ma poi ha detto che a $j(f)'=\mu$ dove \mu è una misura da cui \( j(f)'(\phi)=\mu(\phi)=\displaystyle\int_{[a,b]}\phi d\mu \)
Quindi la tesi è diventata \( -\displaystyle\int_{[a,b]} l \phi 'dx =\displaystyle\int_{[a,b]}\phi d\mu \quad\forall\phi\in D([a,b]) \) che si ottiene in qualche modo usando il teorema di Radon Nikodym e poi la formula di derivazione del prodotto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il filo logico di questi passaggi per me un po' confusi? Grazie!
Risposte
Attenzione che la derivata della funzione di salto non è zero! Chiaramente in ogni salto appare una delta di Dirac.
Tutto il resto mi pare che sostanzialmente dica solo che la derivata è una misura, il che mi pare ovvio.
Tutto il resto mi pare che sostanzialmente dica solo che la derivata è una misura, il che mi pare ovvio.
"dissonance":
Attenzione che la derivata della funzione di salto non è zero! Chiaramente in ogni salto appare una delta di Dirac.
Tutto il resto mi pare che sostanzialmente dica solo che la derivata è una misura, il che mi pare ovvio.
Cia
"dissonance":
Attenzione che la derivata della funzione di salto non è zero! Chiaramente in ogni salto appare una delta di Dirac.
Tutto il resto mi pare che sostanzialmente dica solo che la derivata è una misura, il che mi pare ovvio.
Ecco a me non pare così ovvio
...ma perché ne so poco io. Potresti mica farmi capire come la derivata distribuzionale sia una misura e come tale misura associata sia definita? Ti ringrazio comunque per la risposta!
Ciao, si, non è affatto ovvio, hai ragione. Il fatto è che, dove c'è un salto, la derivata produce una delta di Dirac, che è una misura. Nel resto dei punti, siccome la variazione è limitata, è come se la funzione fosse derivabile. In conclusione, derivando trovi una funzione + delle delta di Dirac. Totale: una misura.
Scusami per avere detto che è ovvio, non è vero, non mi piacciono questi commenti in genere. Quello che davvero volevo dire è che mi pare tu appesantisca la notazione un sacco e inutilmente. Questo ti porta a fissarti su dettagli con poca importanza (l'iniezione delle funzioni nelle distribuzioni, tutta aria fritta: una funzione "è" una distribuzione, non stare a notare ogni volta quella \(j\)).
Scusami per avere detto che è ovvio, non è vero, non mi piacciono questi commenti in genere. Quello che davvero volevo dire è che mi pare tu appesantisca la notazione un sacco e inutilmente. Questo ti porta a fissarti su dettagli con poca importanza (l'iniezione delle funzioni nelle distribuzioni, tutta aria fritta: una funzione "è" una distribuzione, non stare a notare ogni volta quella \(j\)).
"dissonance":
Ciao, si, non è affatto ovvio, hai ragione. Il fatto è che, dove c'è un salto, la derivata produce una delta di Dirac, che è una misura. Nel resto dei punti, siccome la variazione è limitata, è come se la funzione fosse derivabile. In conclusione, derivando trovi una funzione + delle delta di Dirac. Totale: una misura.
Scusami per avere detto che è ovvio, non è vero, non mi piacciono questi commenti in genere. Quello che davvero volevo dire è che mi pare tu appesantisca la notazione un sacco e inutilmente. Questo ti porta a fissarti su dettagli con poca importanza (l'iniezione delle funzioni nelle distribuzioni, tutta aria fritta: una funzione "è" una distribuzione, non stare a notare ogni volta quella \(j\)).
Okok grazie!!...ma guarda io appesantisco la notazione perché il mio prof ha fatto tutto il corso così e ormai ce l'ho nel sangue questa j
ahaha...
[ot]
A me questa cosa, la prima volta che l'ho vista, mi ha fatto dannare. Poi mi ci sono abituato. Ma, giuro, le prime volte impazzivo.[/ot]
"dissonance":
[...] una funzione "è" una distribuzione, non stare a notare ogni volta quella \(j\)).
A me questa cosa, la prima volta che l'ho vista, mi ha fatto dannare. Poi mi ci sono abituato. Ma, giuro, le prime volte impazzivo.[/ot]
Questo purtroppo succede a noi che studiamo matematica. I fisici e gli ingegneri non si fanno questi problemi, e le distribuzioni tante volte le sanno usare meglio di noi, pur senza sapere assolutamente nulla della teoria che c'è dietro (il che ha i suoi limiti, naturalmente).
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