Derivata distribuzionale dalla definizione

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11 mar 2017, 19:51

Buonasera, sto cercando di risolvere il seguente esercizio in cui mi si chiede di calcolare la derivata distribuzionale di :

$\displaystyle f(t) = \begin{cases} t^3 & \mbox{se } -1 \leq t \leq 1 \\ \frac{t}{|t|} & \mbox{se } t<1 \cup t>1 \end{cases} $

applicando la definizione. Innazitutto ho riscritto la funzione come :

$\displaystyle f(t) = \frac{t}{|t|} \;u\left(-(t+1)\right) + t^3\;u(t+1)-t^3\;u(t-1)+\frac{t}{|t|}\;u(t-1) $

graficandola si ottiene :

[fcd="Grafico"][FIDOCAD]
LI 70 30 70 120 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 15 75 125 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 70 4 3 0 0 0 * -1
TY 90 75 4 3 0 0 0 * 1
TY 65 50 4 3 0 0 0 * 1
TY 70 95 4 3 0 0 0 * -1
TY 70 25 4 3 0 0 0 * f(t)
TY 125 75 4 3 0 0 0 * t
LI 90 55 120 55 2
LI 15 95 50 95 2
LI 90 75 90 55 2
FCJ 0 0 3 2 3 0
BE 50 95 70 95 70 55 90 55 2
LI 50 95 50 75 2
FCJ 0 0 3 2 3 0
LI 90 55 70 55 2
FCJ 0 0 3 2 3 0
LI 50 95 70 95 2
FCJ 0 0 3 2 3 0[/fcd]

adesso derivando graficamente si ha :

[fcd="Derivata"][FIDOCAD]
LI 70 20 70 95 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 10 75 130 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 75 4 3 0 0 0 * -1
TY 90 75 4 3 0 0 0 * 1
TY 65 35 4 3 0 0 0 * 3
TY 70 15 4 3 0 0 0 * f(t)
TY 125 75 4 3 0 0 0 * t
LI 90 75 120 75 2
LI 15 75 50 75 2
LI 90 75 90 40 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
BE 50 40 60 85 80 90 90 40 2
LI 50 75 50 40 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 40 50 40 2
FCJ 0 0 3 2 3 0[/fcd]

che dovrebbe essere :

$\displaystyle f'(t) = 3\;\delta(t+1) + 3t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right) - 3\;\delta(t-1) $

ma dato che il testo chiede esplicitamente il calcolo tramite la definizione come dovrei procedere? Ho abbozzato un tentativo ma credo che non mi porti a nulla di concreto. Qualcuno può darmi una mano? Ovviamente chiedo soltanto una strada per iniziare non lo svolgimento completo. Grazie!

Aggiungo sotto spoiler il mio tentativo :

Risposte

Luca.Lussardi

12 mar 2017, 01:52

se hai disegnato correttamente il grafico di $f$ vedi che $f$ e' derivabile in senso classico ovunque pare, come possono apparire le delte di Dirac nella derivata distribuzionale?

Oiram92

12 mar 2017, 13:45

In effetti non me lo spiego nemmeno io..Dal grafico si vede che la funzione assume valori costanti nei tratti $\displaystyle ]-\infty,-1[ $ e $\displaystyle ]1,+\infty[ $ quindi la derivata di un valore costante è nulla, mentre in $\displaystyle [-1,1] $ la derivata classica vale $\displaystyle 3t^2 $. Mettendo tutto assieme si vede dal grafico che agli estremi dell'intervallo $\displaystyle [-1,1] $ la funzione derivata presenta una discontinuità di tipo salto (a cui va associata una delta di Dirac).

Osservando il grafico mi sono reso conto che è possibile sostituire $\displaystyle \frac{t}{|t|} $ con la funzione segno, quindi possiamo riscrivere la $\displaystyle f(t) $ come :

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2}\;sgn(t+1) + \frac{1}{2}\;sgn(t-1) + t^3\;u(t+1) -t^3\;u(t-1) $

se adesso andiamo a derivare $\displaystyle f(t) $ senza passare dalla definizione di derivata distribuzionale (che ancora non ho ben capito come va applicata) avremmo che :

$\displaystyle f'(t) = \frac{1}{2} \;2\;\delta(t+1) + \frac{1}{2}\;2\;\delta(t-1) + 3t^2 \;u(t+1) + t^3\;\delta(t+1) - 3t^2\;u(t-1) - t^3\;\delta(t-1) $

$\displaystyle = \delta(t+1) + \delta(t-1) + 3t^2 \;u(t+1) + t^3\;\delta(t+1) - 3t^2\;u(t-1) - t^3\;\delta(t-1) $

$\displaystyle = \left(1+t^3\right)\;\delta(t+1) + 3t^2\left(u(t+1)-u(t-1)\right) + \left(1-t^3\right)\;\delta(t-1) $

quindi effettivamente mi sembra che le delta ci siano anche se non so se il risultato è corretto o meno (e soprattutto come dovrei ricavarlo tramite la definizione)

Oiram92

14 mar 2017, 19:32

Ok forse ci sono! Dunque, dalla definizione abbiamo che :

$\displaystyle \langle f'(t),\phi(t) \rangle = - \langle f(t), \phi'(t) \rangle = - \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \;\phi'(t)\;dt $

$\displaystyle = - \int_{-\infty}^{-1} \frac{t}{|t|} \;\phi'(t)\;dt - \int_{-1}^{1} t^3\;\phi'(t)\;dt - \int_{1}^{\infty} \frac{t}{|t|}\;\phi'(t)\;dt $

osservando che $\displaystyle \frac{t}{|t|} = sgn(t) $ e che la derivata della funzione segno è nulla, allora integrando per parti si ha :

$\displaystyle = - \left[sgn(t)\;\phi(t)\right]_{-\infty}^{-1} - \left( \left[t^3\;\phi(t)\right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} 2t^2 \;\phi(t)\;dt \right) - \left[sgn(t)\;\phi(t)\right]_{1}^{\infty} $

ricordando che $\displaystyle \phi(t) $ è una funzione di test a supporto compatto allora :

$\displaystyle = \phi(-1) - \phi(1) - \phi(-1) + \int_{-1}^{1} 2t^2\;\phi(t)\;dt + \phi(1) = \int_{-1}^{1} 2t^2\;\phi(t)\;dt$

quest'ultima può essere riscritta come :

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 2t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right)\;\phi(t)\;dt = \langle 2t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right), \phi(t) \rangle $

ovvero si può concludere che :

$\displaystyle f'(t) \to 2t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right)$

nel senso delle distribuzioni. Tutto corretto adesso?