Derivata distribuzionale dalla definizione

Oiram92
Buonasera, sto cercando di risolvere il seguente esercizio in cui mi si chiede di calcolare la derivata distribuzionale di :

\(\displaystyle f(t) = \begin{cases} t^3 & \mbox{se } -1 \leq t \leq 1 \\ \frac{t}{|t|} & \mbox{se } t<1 \cup t>1 \end{cases} \)


applicando la definizione. Innazitutto ho riscritto la funzione come :

\(\displaystyle f(t) = \frac{t}{|t|} \;u\left(-(t+1)\right) + t^3\;u(t+1)-t^3\;u(t-1)+\frac{t}{|t|}\;u(t-1) \)


graficandola si ottiene :

[fcd="Grafico"][FIDOCAD]
LI 70 30 70 120 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 15 75 125 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 70 4 3 0 0 0 * -1
TY 90 75 4 3 0 0 0 * 1
TY 65 50 4 3 0 0 0 * 1
TY 70 95 4 3 0 0 0 * -1
TY 70 25 4 3 0 0 0 * f(t)
TY 125 75 4 3 0 0 0 * t
LI 90 55 120 55 2
LI 15 95 50 95 2
LI 90 75 90 55 2
FCJ 0 0 3 2 3 0
BE 50 95 70 95 70 55 90 55 2
LI 50 95 50 75 2
FCJ 0 0 3 2 3 0
LI 90 55 70 55 2
FCJ 0 0 3 2 3 0
LI 50 95 70 95 2
FCJ 0 0 3 2 3 0[/fcd]


adesso derivando graficamente si ha :

[fcd="Derivata"][FIDOCAD]
LI 70 20 70 95 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 10 75 130 75 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 75 4 3 0 0 0 * -1
TY 90 75 4 3 0 0 0 * 1
TY 65 35 4 3 0 0 0 * 3
TY 70 15 4 3 0 0 0 * f(t)
TY 125 75 4 3 0 0 0 * t
LI 90 75 120 75 2
LI 15 75 50 75 2
LI 90 75 90 40 2
FCJ 1 0 3 2 0 0
BE 50 40 60 85 80 90 90 40 2
LI 50 75 50 40 2
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 40 50 40 2
FCJ 0 0 3 2 3 0[/fcd]


che dovrebbe essere :

\(\displaystyle f'(t) = 3\;\delta(t+1) + 3t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right) - 3\;\delta(t-1) \)


ma dato che il testo chiede esplicitamente il calcolo tramite la definizione come dovrei procedere? Ho abbozzato un tentativo ma credo che non mi porti a nulla di concreto. Qualcuno può darmi una mano? Ovviamente chiedo soltanto una strada per iniziare non lo svolgimento completo. Grazie!

Aggiungo sotto spoiler il mio tentativo :


Risposte
Luca.Lussardi
se hai disegnato correttamente il grafico di $f$ vedi che $f$ e' derivabile in senso classico ovunque pare, come possono apparire le delte di Dirac nella derivata distribuzionale?

Oiram92
In effetti non me lo spiego nemmeno io..Dal grafico si vede che la funzione assume valori costanti nei tratti \(\displaystyle ]-\infty,-1[ \) e \(\displaystyle ]1,+\infty[ \) quindi la derivata di un valore costante è nulla, mentre in \(\displaystyle [-1,1] \) la derivata classica vale \(\displaystyle 3t^2 \). Mettendo tutto assieme si vede dal grafico che agli estremi dell'intervallo \(\displaystyle [-1,1] \) la funzione derivata presenta una discontinuità di tipo salto (a cui va associata una delta di Dirac).

Osservando il grafico mi sono reso conto che è possibile sostituire \(\displaystyle \frac{t}{|t|} \) con la funzione segno, quindi possiamo riscrivere la \(\displaystyle f(t) \) come :

\(\displaystyle f(t) = \frac{1}{2}\;sgn(t+1) + \frac{1}{2}\;sgn(t-1) + t^3\;u(t+1) -t^3\;u(t-1) \)


se adesso andiamo a derivare \(\displaystyle f(t) \) senza passare dalla definizione di derivata distribuzionale (che ancora non ho ben capito come va applicata) avremmo che :

\(\displaystyle f'(t) = \frac{1}{2} \;2\;\delta(t+1) + \frac{1}{2}\;2\;\delta(t-1) + 3t^2 \;u(t+1) + t^3\;\delta(t+1) - 3t^2\;u(t-1) - t^3\;\delta(t-1) \)


\(\displaystyle = \delta(t+1) + \delta(t-1) + 3t^2 \;u(t+1) + t^3\;\delta(t+1) - 3t^2\;u(t-1) - t^3\;\delta(t-1) \)


\(\displaystyle = \left(1+t^3\right)\;\delta(t+1) + 3t^2\left(u(t+1)-u(t-1)\right) + \left(1-t^3\right)\;\delta(t-1) \)


quindi effettivamente mi sembra che le delta ci siano anche se non so se il risultato è corretto o meno (e soprattutto come dovrei ricavarlo tramite la definizione)

Oiram92
Ok forse ci sono! Dunque, dalla definizione abbiamo che :

\(\displaystyle \langle f'(t),\phi(t) \rangle = - \langle f(t), \phi'(t) \rangle = - \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \;\phi'(t)\;dt \)


\(\displaystyle = - \int_{-\infty}^{-1} \frac{t}{|t|} \;\phi'(t)\;dt - \int_{-1}^{1} t^3\;\phi'(t)\;dt - \int_{1}^{\infty} \frac{t}{|t|}\;\phi'(t)\;dt \)


osservando che \(\displaystyle \frac{t}{|t|} = sgn(t) \) e che la derivata della funzione segno è nulla, allora integrando per parti si ha :

\(\displaystyle = - \left[sgn(t)\;\phi(t)\right]_{-\infty}^{-1} - \left( \left[t^3\;\phi(t)\right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} 2t^2 \;\phi(t)\;dt \right) - \left[sgn(t)\;\phi(t)\right]_{1}^{\infty} \)


ricordando che \(\displaystyle \phi(t) \) è una funzione di test a supporto compatto allora :

\(\displaystyle = \phi(-1) - \phi(1) - \phi(-1) + \int_{-1}^{1} 2t^2\;\phi(t)\;dt + \phi(1) = \int_{-1}^{1} 2t^2\;\phi(t)\;dt\)


quest'ultima può essere riscritta come :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} 2t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right)\;\phi(t)\;dt = \langle 2t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right), \phi(t) \rangle \)


ovvero si può concludere che :

\(\displaystyle f'(t) \to 2t^2 \left(u(t+1)-u(t-1)\right)\)


nel senso delle distribuzioni. Tutto corretto adesso?

Luca.Lussardi
mi sembra di si.

Oiram92
Perfetto! Grazie mille della conferma :smt023 in effetti guardando adesso il grafico sembra tutto così ovvio :oops: va beh l'importante è che ho capito il metodo, grazie ancora

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