Derivata distribuzionale

[Insubrico]

Mi si chiede di trovare la derivata distribuzionale 2nda di $f(x)=|x^2-1|$.
Il problema non dice quale distribuzione usare. Si può forse usare la delta di dirac?
Ma in questo caso qual è la derivata 2nda della delta di dirac?


Saluti.

[Bremen000]

Data $f \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^1(\mathbb{R})$ ha senso considerare il funzionale (ovvero la distribuzione)

$T_f : \mathcal{D}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} $
$T_{f}(\phi) := \int_{\mathbb{R}} f(x)\phi(x)dx$

Dove $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ è l'insieme delle funzioni $\mathcal{C}^{\infty}$ a supporto compatto in $\mathbb{R}$.

La derivata distribuzionale di $T$ altro non è che la distribuzione $T'$ tale che

$< T', \phi > = - \quad \forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$

Se poi esiste una $g \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^1(\mathbb{R})$ t.c. $ = \int_{\mathbb{R}} g(x)\phi(x)dx \quad \forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ allora diremo che $g$ è la derivata debole di $f$.

Se questo ti è chiaro non dovresti avere problemi a fare quei conti.

[Insubrico]

Si, ma in questo caso $phi$ che cosa rappresenta? Nel problema non c'è.


Saluti.

[mklplo751]

penso che $phi$ stai per la funzione test,come penso che già sai,le funzioni test sono funzioni infinite volte derivabili a supporto compatto,che se non erro si di che appartengono a $ C_c^oo $

[Bremen000]

Mmmm non so se ti è chiaro l'ambiente di lavoro delle distribuzioni. Ti faccio vedere come si fa la derivata prima:

Sia $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ arbitraria e sia $T_f$ la distribuzione associata alla funzione $f(x)=|x^2-1|$. Per definizione di derivata distribuzionale:

$$ = -= -\int_{\mathbb{R}} f(x)\phi'(x)dx= -\int_{-\infty}^{-1}(x^2-1)\phi'(x)dx -\int_{-1}^{1} (1-x^2)\phi(x)'dx -\int_{1}^{\infty}(x^2-1)\phi'(x)dx = -[(x^2-1)\phi(x)]_{-\infty}^{-1} +\int_{-\infty}^{-1}2x\phi(x)dx -[(1-x^2)\phi(x)]_{-1}^{1} +\int_{-1}^{1}-2x\phi(x)dx-+[(x^2-1)\phi(x)]_{1}^{\infty}+\int_{1}^{\infty}2x\phi(x)dx = \int_{\mathbb{R}}g(x)\phi(x)dx = $$

Dove $g$ è la funzione che vale $2x$ in $(-\infty;-1) \cup (1;\infty)$ e $-2x$ in $(-1;1)$.

Allora diremo che $g$ è la derivata debole di $f$.

[gugo82]

L'esercizio si può svolgere con meno contazzi, usando una rappresentazione esplicita di $f$, le derivate distribuzionali note, le regole di derivazione ed altre amenità simili.

Dato che $f$ è $C^oo$ a tratti, dalla teoria sai che la derivata distribuzionale è formata da una parte regolare (che contiene le derivate classiche di $f$) e da una parte impulsiva (che contiene $\delta$ e le sue derivate); inoltre, gli impulsi sono concentrati lì dove le derivate classiche hanno problemi (in questo caso, in $\pm 1$).
Per determinare la derivata distribuzionale, innanzitutto esplicitiamo $f$ usando la funzione gradino di Heavyside:
\[
u(x) := \begin{cases}
1 &\text{, se } x\geq 0\\
0&\text{, se } x<0
\end{cases}\; .
\]
Abbiamo:
\[
\begin{split}
f(x) &= \begin{cases} x^2-1 &\text{, se } x\leq -1 \text{ oppure } x\geq 1\\
-(x^2-1) &\text{, se } -1 \end{cases}\\
&= (x^2+1)\ u(-1-x) + \big( -(x^2-1)\big)\ \big( u(x+1) - u(x-1)\big) + (x^2-1)\ u(x-1)\\
&= (x^2+1)\ \left( u(-1-x) - u(x+1) + u(x-1) + u(x-1)\right)\\
&= (x^2+1)\ \left( 1- u(x+1) - u(x+1) + u(x-1) + u(x-1)\right)\\
&= (x^2+1)\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right)\; ,
\end{split}
\]
poi deriviamo usando le solite regole di derivazione, ricordando che \(u^\prime =\delta\) e la proprietà di campionamento:
\[
\begin{split}
\operatorname{D}f &= \operatorname{D}[x^2+1]\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right) + (x^2+1)\ \operatorname{D}\left[ 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right]\\
&= 2x\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right) + (x^2+1)\ \left( - 2 \delta (x+1) + 2 \delta (x-1) \right)\\
&= 2x\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right) - 4 \delta (x+1) + 4 \delta (x-1)\; .
\end{split}
\]
Questo risultato è giusto: infatti, la derivata classica di $f$ è:
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= \begin{cases} 2x &\text{, se } x<-1 \text{ oppure } x>1\\
-2x &\text{, se } -1 \end{cases}\\
&= 2x\ u(-1-x) - 2x\ \big( u(x+1) - u(x-1)\big) + 2x\ u(x-1)\\
&= 2x\ (1-2u(x+1) + 2 u(x-1))
\end{split}
\]
e si vede che essa ha salti di ampiezza $-4$ e $4$ rispettivamente in $-1$ ed $1$.

In modo del tutto analogo si ricava la derivata distribuzionale seconda \(\operatorname{D}^2 f\).

[dissonance]

[ot]

"gugo82":[...]meno contazzi[...]
\[
u(x) := \begin{cases}
1 &\text{, se } x\geq 0\\
0&\text{, se } x<0
\end{cases}\; .
\]
[...]
\begin{split}
f(x) &= \begin{cases} x^2-1 &\text{, se } x\leq -1 \text{ oppure } x\geq 1\\
-(x^2-1) &\text{, se } -1 \end{cases}\\
&= (x^2+1)\ u(-1-x) + \big( -(x^2-1)\big)\ \big( u(x+1) - u(x-1)\big) + (x^2-1)\ u(x-1)\\
&= (x^2+1)\ \left( u(-1-x) - u(x+1) + u(x-1) + u(x-1)\right)\\
&= (x^2+1)\ \left( 1- u(x+1) - u(x+1) + u(x-1) + u(x-1)\right)\\
&= (x^2+1)\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right)\; ,
\end{split}
\]
[...]
\[
\begin{split}
\operatorname{D}f &= \operatorname{D}[x^2+1]\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right) + (x^2+1)\ \operatorname{D}\left[ 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right]\\
&= 2x\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right) + (x^2+1)\ \left( - 2 \delta (x+1) + 2 \delta (x-1) \right)\\
&= 2x\ \left( 1- 2 u(x+1) + 2 u(x-1)\right) - 4 \delta (x+1) + 4 \delta (x-1)\; .
\end{split}
\]
[...]
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= \begin{cases} 2x &\text{, se } x<-1 \text{ oppure } x>1\\
-2x &\text{, se } -1 \end{cases}\\
&= 2x\ u(-1-x) - 2x\ \big( u(x+1) - u(x-1)\big) + 2x\ u(x-1)\\
&= 2x\ (1-2u(x+1) + 2 u(x-1))
\end{split}
\]
[...]

In modo del tutto analogo si ricava la derivata distribuzionale seconda \(\operatorname{D}^2 f\).

Questi sono *pochi* contazzi. Non voglio immaginare cosa Gugo considera essere *molti* contazzi. [/ot]

[Bremen000]

[ot]Magari la def di contazzo ha dentro conti brutti e non solo lunghi; io, in effetti, ho fatto tre integrazioni per parti![/ot]

[gugo82]

@ dissonance: LOOOL!
[ot]E comunque la verifica era fatta solo per constatare che tutto funzionava.[/ot]

@ Bremen000: [ot]Certo...[/ot]