Derivata di una Misura

[mklplo751]

Salve,se non vi reca disturbo,potreste dirmi se sì può derivare $mu(x)$ rispetto alla variabile $x$?
e se sì come(per esempio se $mu$ fosse la misura di Lebesgue)?
(ammesso che abbia senso porsi questa domanda)

[Sk_Anonymous]

Quello che dici non ha senso. L'argomento di una misura non è una variabile (?), ma un insieme. Il dominio di una misura è una \(\sigma\)-algebra di un insieme \(X\). Esiste una nozione di derivazione per misure che discende dal teorema di Radon-Nykodim.

Ora smettila, per cortesia.

[mklplo751]

Grazie,avevo immaginato che non avesse senso,l'unico motivo per cui avevo posto questa domanda è che quando pochi giorni fa studiai l'integrazione secondo Lebesgue,ho visto il simbolo: \( \int_{R}f(x)d\mu(x) \) .E volevo capire bene se questo implicasse una derivazione nel senso che avevo posto nella domanda,oltre al fatto che,poiché le misure sono casi particolari delle distribuzioni,e poiché quest'ultime hanno delle derivate,pensavo che anche le misure dovessero avercele.

[Sk_Anonymous]

Una misura di Radon \(\mu\) genera in modo unico una distribuzione \(\Delta_\mu \in \mathscr{D}' (\Omega) \) per \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^n\) aperto regolare. Quindi una misura di Radon ha una derivata distribuzionale soltanto se si identifica con la sua distribuzione \(\Delta_\mu\); questa, in qualche modo oscuro, può essere vista come la generalizzazione di una derivata direzionale. Come ho già detto, per le misure esiste poi la nozione di derivata di Radon-Nykodim (la derivata in senso distribuzionale è per le distribuzioni associate alle misure).

Edit. Ho sistemato il messaggio perché a posteriori mi sembrava un po' oscuro.

[mklplo751]

Grazie,penso di avere capito,quindi le misure non hanno derivata nel senso classico,così come molte distribuzioni.Giusto?

[Sk_Anonymous]

Ripeto, al netto dei miei ricordi per le misure c'è una nozione di derivata di Radon-Nykodim. Non so cosa voglia dire "derivare una misura in senso classico", ove "in senso classico" si intende "via rapporti incrementali".

[mklplo751]

Ah,Grazie,per l'aiuto.