Derivata della funzione parte intera

[Bianco17]

Studiando le parti frazionarie delle funzioni mi sono imbattuto in un dubbio teorico circa la derivata di queste ultime. Velocemente poi il problema diventa appunto quello di determinare la derivata della parte intera della funzione. Leggendo un po' in giro su Internet, quel che si dice è che \[\mathrm{D}[\lfloor x\rfloor]=0, x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\] o, meglio, con la delta di Dirac \(\delta(x)\) \[\mathrm{D}[\lfloor x\rfloor]=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta(x-n)\] Il mio dubbio principale ora risiede nel perché per la derivata della parte intera occorra eliminare i punti \(x\in\mathbb{Z}\) e quindi introdurre la distribuzione. C'è qualche aspetto teorico che credo mi sfugga… Qualcuno può spiegarmi come arrivare all'esclusione di \(\mathbb{Z}\)?

[Gi81]

La funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( f(x):= \lfloor x \rfloor \) è:

[*:2jzxj0p2]continua in tutti i punti \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \)[/*:m:2jzxj0p2]
[*:2jzxj0p2]non continua (e dunque non derivabile) in tutti i punti \( x \in \mathbb{Z} \)[/*:m:2jzxj0p2][/list:u:2jzxj0p2]

Perchè non è continua sugli interi?

[Bianco17]

Giusto, il tutto sta nella non continuità della funzione. Invece la delta di Dirac da dove viene fuori?