Densità insieme $L^(infty)$

[GuidoFretti1]

Buongiorno, non riesco a risolvere questo esercizio nel caso particolare in cui $p=+infty$

sia $g:X->CC$ una funzione misurabile su $X$ e quasi ovunque finita e sia $D_(infty)={f in L^(infty)(mu) | g(x)f(x) in L^(infty)(mu)}$

Mostrare che $AA f in L^(infty)(mu)$ esiste ${f_n} sube D_(infty)$ tale che $f_n -> f$ in $L^(infty)(mu)$ se $g in L^(infty)(mu)$

provo a mettere in breve il mio tentativo:

$AA n in NN$ sia $E_n:={x| |g(x)|<=n}$ che è ben definito perchè $g in L^(infty)(mu)$ e sia $f_n=f*1(E_n)$, allora $f_n -> f$ per $n->+infty$,puntualmente e $|f_n|<=|f| in L^(infty)$ e quindi $|gf_n|<=|f|||g||_(infty) in L^(infty)$ e duqnue $f_n in D_(infty)$ e sia ha che $(||f-f_n||)_(infty) = Sup|f(x)-f_n(x)| ->0$ per $n->infty$ come si voleva

avrebbe senso oppure mi date dei suggerimenti su come affrontare tale problema?

grazie

[otta96]

Si funziona, però era anche molto più semplice in realtà dato che direttamente $f\inD_\infty$.

[GuidoFretti1]

nella "maniera più semplice" come sarebbe la dimostrazione?

onestamente non mi viene in mente

[otta96]

$f_n=fAAn\inNN$.

[GuidoFretti1]

Verissimo!

Grazie... comunque entrambe sono corrette...certo una è letteralmente immediata rispetto alla mia