Densità di probabilità

[Silente]

Supponiamo di avere una variabile aleatoria $\xi : \Omega\to\mathbb{R}$ la cui funzione di distribuzione è descrivibile attraverso una densità, per cui per definizione di densità ho che la probabilità associata ad ogni intervallo del tipo $(-\infty,x]$ la posso calcolare come:

\(\displaystyle F_\xi(x)=P_\xi (-\infty,x]=\int_{-\infty}^x f_\xi(y)\mathrm{d}y \quad (1)\)

dove l'integrale di sopra è inteso nel senso di Lebesgue, rispetto alla misura di Lebesgue su \(\displaystyle \mathbb{R} \).

Il mio libro (Shiryayev, Probability, pag.195) dice che vale:

\(\displaystyle P_\xi(B)=\int_B f_\xi \mathrm{d}x, \quad \forall B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \).

Come si può sfruttare la (1) per inferire questa cosa? Non mi viene in mente niente di semplice...

[pilloeffe]

Ciao Silent,

Magari non ho capito bene che cosa è $B$ e sto prendendo una cantonata io, ma mi pare semplicemente che la (1)

"Silent":

$ F_\xi(x) = P_\xi (-\infty,x]=\int_{-\infty}^x f_\xi(y) \text{d}y $

sia un caso particolare della

[tex]P_\xi(B)=\int_B f_\xi \text{d}x, \quad \forall B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/tex]

con $B = (-\infty,x] $

[Silente]

Ciao pilloeffe, quello che volevo fare è il contrario: a partire dal fatto che io so che quella formula vale solo per intervalli del tipo $ (-\infty, x]$, come posso dimostrare che vale per qualunque boreliano?

[dissonance]

É una cosa standard, si usa la proprietá di "regolaritá" della sigma-algebra di Borel, ogni boreliano si puó approssimare con unioni numerabili di intervalli, una roba del genere. Su ogni buon libro di probabilitá ci deve essere.

[Silente]

Ho risolto usando il principio degli 'appropriate sets' (non so in italiano come si traduca ).
Sostanzialmente, basta far vedere che l'insieme \(\displaystyle \{B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})|P_\xi(B)=\int_B f_\xi(x)\} \) è una classe monotona.

Grazie.