Delta di Dirac
Buonasera, ho un dubbio sulla Delta di Dirac.
So che, per definizione, è una distribuzione dallo spazio delle funzioni test D(R^n) a R, e che <δ(x0),ϕ>=ϕ(x0), per ogni ϕ in D(R^n).
Quello che non mi torna è come possa intuitivamente essere considerata una "funzione che è 0 dappertutto tranne in x0". Almeno questa è l'interpretazione fisica che le viene assegnata nel corso che sto seguendo di equazioni alle derivate parziali, ma non riesco in nessun modo a collegare l'intuizione con la definizione. Qualcuno mi saprebbe aiutare?
So che, per definizione, è una distribuzione dallo spazio delle funzioni test D(R^n) a R, e che <δ(x0),ϕ>=ϕ(x0), per ogni ϕ in D(R^n).
Quello che non mi torna è come possa intuitivamente essere considerata una "funzione che è 0 dappertutto tranne in x0". Almeno questa è l'interpretazione fisica che le viene assegnata nel corso che sto seguendo di equazioni alle derivate parziali, ma non riesco in nessun modo a collegare l'intuizione con la definizione. Qualcuno mi saprebbe aiutare?
Risposte
Perchè quel "prodotto scalare", per funzioni $L^2$, è il vero e proprio prodotto scalare in quello spazio, e quindi (seguono passaggi non rigorosi) $f(x_0)=<\delta_(x_0),f> =\int_(RR^n)\delta_(x_0)(x)f(x)dxAAf$, quindi l'effetto della $\delta_(x_0)$ è quello di concentrare tutto il peso (infinito) dello spazio in $x_0$, quindi è come se appunto in quel punto fosse una funzione che valesse infinito mentre negli altri punti $0$.
Un altro modo di vederla è come limite della successione $f_k(x)=k^n\phi(kx)$, dove $\phi=\chi_(B(x_0,1/k))/|(B(x_0,1/k))|$ (con $\chi$ intendo le funzione caratteristica). Dovresti riuscire a dimostrare che questa successione tende debolmente (o in qualunque senso di convergenza sensato vuoi mettere su quello spazio, credo) a $\delta_(x_0)$, mentre puntualmente tende a una funzione che è nulla in tutti i punti tranne $x_0$, in cui vale infinito (ragionando su $RR$ esteso come codominio).
Un altro modo di vederla è come limite della successione $f_k(x)=k^n\phi(kx)$, dove $\phi=\chi_(B(x_0,1/k))/|(B(x_0,1/k))|$ (con $\chi$ intendo le funzione caratteristica). Dovresti riuscire a dimostrare che questa successione tende debolmente (o in qualunque senso di convergenza sensato vuoi mettere su quello spazio, credo) a $\delta_(x_0)$, mentre puntualmente tende a una funzione che è nulla in tutti i punti tranne $x_0$, in cui vale infinito (ragionando su $RR$ esteso come codominio).
Le funzioni sono entità che possono essere valutate nei punti e restituiscono valori.
Le distribuzioni, invece, si comportano più come dei funzionali: si valutano contro altre funzioni, mediante quello che chiami prodotto scalare, e che è appunto, come ti hanno detto, un prodotto scalare, e restituiscono dei numeri reali. Se sai cos'è uno spazio duale, perfetto, è proprio quello che sono le distribuzioni, opportuni covettori.
Tra le tante distribuzioni possibili, si dimostra che ne esiste una, che chiami \(\delta_x\), con la proprietà che \(\delta_x(f)=f(x)\); ma è sbagliato voler sapere "quanto fa" \(\delta_x\) in un "punto", perché non è così che si valutano le distribuzioni.
Le distribuzioni, invece, si comportano più come dei funzionali: si valutano contro altre funzioni, mediante quello che chiami prodotto scalare, e che è appunto, come ti hanno detto, un prodotto scalare, e restituiscono dei numeri reali. Se sai cos'è uno spazio duale, perfetto, è proprio quello che sono le distribuzioni, opportuni covettori.
Tra le tante distribuzioni possibili, si dimostra che ne esiste una, che chiami \(\delta_x\), con la proprietà che \(\delta_x(f)=f(x)\); ma è sbagliato voler sapere "quanto fa" \(\delta_x\) in un "punto", perché non è così che si valutano le distribuzioni.
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