Delta di Dirac

[Fede5...]

Ciao ragazzi, qualcuno saprebbe aiutarmi con questo esercizio?
Trovare almeno una funzione $x: D subset RR -> RR$ che soddisfa la seguente equazione:
$ xprime prime (t)+8x'(t)+15x(t)-delta (t)=0 $
Grazie!

[pilloeffe]

Ciao #Fede,

Scrivendo l'equazione nella forma

$ x''(t)+8x'(t)+15x(t) = \delta(t) $

applicherei la trasformata di Laplace ad ambo i membri.
Alla fine dei conti dovresti ottenere il risultato seguente:

$x(t) = c_1 e^{-5t} + c_2 e^{-3t} - 1/2 e^{-5t} H(t) + 1/2 e^{-3t} H(t) $

ove $H(t) $ è la funzione gradino di Heaviside.

[Fede5...]

Grazie pilloeffe della risposta,

Non avendo delle condizioni iniziali come ne esco fuori?

Scrivo l'equazione nella forma $ x''(t)+8x'(t)+15x(t)=delta (t) $

e trasformo entrambi i membri

$ s^2X(s)-sx(0)-x'(0)+8(sX(s)-x(0))+15X(s)= 1 $

quindi $ X(s)=(1+x(0)(s+8)+x'(0))/((s+3)(s+5) $

A questo punto potrei scrivere X(s) in frazioni parziali e calcolarmi i residui ma con il numeratore non ne vengo fuori non avendo le condizioni iniziali....

[pilloeffe]

"#Fede":Non avendo delle condizioni iniziali come ne esco fuori?

Beh, non vedo il problema: le condizioni iniziali sono delle costanti, ad esempio $x(0) = c_1 + c_2 $
Trattale come tali, magari richiamandole in modo più "amichevole" $A := x(0) $ e $B = x'(0) $ e procedi con la scomposizione in fratti semplici che hai pensato...
Poi l'esercizio ti chiede di

"#Fede": Trovare almeno una funzione [...]

[Fede5...]

Ok, quindi dopo aver applicato la trasformata di Laplace ad entrambi i membri pongo

$ c_1=x(0)\quade\quad c_2=x'(0) $

quindi

$ X(S)=(1+c_1(s+8)+c_2)/((s+3)(s+5) $

e calcolo i residui

$ A=[ (1+c_1(s+8)+c_2)/(s+5) ]_(s=-3) = (1+5c_1+c_2)/(2) $

$ B=[ (1+c_1(s+8)+c_2)/(s+3) ]_(s=-5) = -(1+3c_1+c_2)/(2) $

Allora

$ X(S)= 1/2*(1+5c_1+c_2)/(s+3)- 1/2*(1+3c_1+c_2)/(s+5) $

Calcolando le antitrasformate ottengo:

$ x(t)=c_1e^(−5t)+c_2e^(−3t)−1/2e^(−5t)H(t)+1/2e^(−3t)H(t) $

Corretto??

Grazie mille!!